Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия.

Рассматриваемое положение равновесия может оказаться устойчивым или неустойчивым. О характере этого положения равновесия можно судить по тому, как ведет себя система вблизи положения равновесия.

Определение. Положение равновесия системы называется устойчивым, если для любых, сколь угодно малых положительных чисел можно всегда подобрать два других числа таких, что при начальных значениях координат и скоростей удовлетворяющих условиям

для каждого момента времени будут выполняться условия

Другими словами, для устойчивого положения равновесия координаты и скорости не будут превосходить некоторых заданных пределов, при достаточно малых начальных возмущениях координат и скоростей.

Задачей отбора устойчивых положений равновесия занимались еще в древности. Принципы отбора таких положений пытались установить Аристотель (384-322 гг. до н. э.) и Архимед (287-212 гг. до н. э.). Торричелли уже сформулировал общий принцип устойчивости равновесия тяжелых тел, заключающийся в том, что при равновесии центр тяжести системы занимает наинизшее положение. Общий принцип устойчивости равновесия консервативных систем впервые был сформулирован Лагранжем в 1788 г. в его знаменитой теореме об устойчивости равновесия, первое строгое доказательство которой дал Лежен Дирихле в 1847 г. Доказательство Лежена Дирихле легло в основу известной теоремы А. М.. Ляпунова (1857—1918) об устойчивости движения.

Теорема Лагранжа. Если в положении равновесия системы силовая функция имеет изолированный максимум, то такое положение равновесия системы устойчиво.

Доказательство. Чтобы доказать эту теорему, достаточно показать, что для любых двух положительных чисел А и А и как бы малы они ни были, всегда можно иайти два других положительных числа X и такие, что движение системы, удовлетворяющее в начальный момент условиям

при любом будет удовлетворять неравенствам

Будем предполагать, что в положении равновесия силовая функция обращается в нуль, так что в положении равновесия имеют место равенства

Рассмотрим такую окрестность положения равновесия

в которой силовая функция не имеет других стационарных точек, кроме положения равновесия, и пусть А — некоторое положительное число, меньше Н, т. е.

Рассмотрим сферу

Как непрерывная функция будет иметь на этой сфере А некоторое максимальное значение, которое обозначим через . Тогда на сфере А будем иметь

Пусть, кроме того, — некоторое произвольное достаточно малое положительное число и пусть для всех значений координат и скоростей, удовлетворяющих условиям

живая сила системы оказывается ограниченной снизу

где — некоторое положительное число. В силу непрерывности живой силы системы такое число всегда можно подобрать. Обозначим через наименьшее из чисел и выберем числа и так, чтобы при значениях координат и скоростей, удовлетворяющих условиям

имели место неравенства

В силу непрерывности выражений для и Т такие числа и всегда можно подобрать.

Пусть теперь начальные значения координат и скоростей точек системы удовлетворяют условиям

Тогда

и постоянная из интеграла живых сил будет удовлетворять условию

Так как левая часть интеграла живых сил

неотрицательна, будем иметь

откуда следует

поэтому движение, начавшееся в области начальных значений координат и скоростей, удовлетворяющих неравенствам

будет происходить так, что во все время движения будет выполняться неравенство

Кроме того, из интеграла живых сил имеем

а это может быть только тогда, когда во все время движения выполняется неравенство

Таким образом, по заданным числам нам удалось найти такие числа X, которые удовлетворяют условиям устойчивости положения равновесия. Этим теорема доказана.

Теорема Лагранжа дает только достаточные условия устойчивости равновесия. Ниже будет показано, что эти условия являются и необходимыми условиями при довольно общих ограничениях на силовую функцию.

Пример 133. Весомая однородная квадратная пластинка (рис. 262) может вращаться в вертикальной плоскости около своего угла А. К ближайшему углу квадрата В привязана нить, перекинутая через блок Е и натягиваемая грузом Бесконечно малый блок Е расположен вертикально над углом А на расстоянии, равном стороне квадрата. Величина груза Q относится к весу Р пластинки, как .

Найти положения равновесия пластинки и определить их устойчивость.

Решение. Силовая функция системы в данном случае имеет вид

где

Подставляя эти значения и полагая получим

В положении равновесия или

что можно записать еще в виде

Последнему уравнению удовлетворяют следующие положительные значения

которые и определяют три положения равновесия Системы.

Рис. 262

Рис. 263

Рассматривая вторую производную от

увидим, что при выполняется неравенство т. е. это положение равновесия неустойчиво. При имеем -у т. е. это положение равновесия устойчиво. При имеем неравенство , следовательно, снова имеем неустойчивость положения равновесия.

Пример 134. На неподвижный круглый цилиидр радиуса ось которого горизонтальна, положен однородный круглый цилиндр радиуса ось которого тоже горизонтальна и перпендикулярна к оси первого цилиндра. Определить условия устойчивого положения равновесия системы (рис. 263).

Решение. Силовая функция здесь имеет вид

где

Положения равновесия определяются из уравнения

так что при система будет находиться в равновесии. Рассматривая вторую производную от функции найдем

и при будем иметь

Силовая функция имеет максимум в этом положении равновесия, и, следовательно, оно будет устойчивым, если