3. Принцип наименьшего действия в форме Якоби.

Наиболее аккуратное изложение принципа наименьшего действия дал К. Якоби. В лекциях по динамике, которые он читал в 1843-1844 гг., говорится о том, что принцип наименьшего действия трудно понять, так как при его формулировке обычно забывают об исключении времени при помощи интеграла живых сил. После такого исключения все рассмотрение сводится к пространственным элементам.

Переходя к изложению принципа наименьшего действия в форме Якоби, будем предполагать, что положение механической системы в каждый момент времени определяется лагранжевыми координатами а наложенные на систему связи не зависят явно от времени. Будем, кроме того, предполагать, что силы, действующие на точки системы, консервативны. При сделанных предположениях живая сила системы будет однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей

где коэффициенты зависят только от координат Движение изучаемой системы происходит в соответствии с интегралом живых сил

в котором — силовая функция.

В пространстве обобщенных координат введем метрику, определив квадрат длины дуги с помощью положительно определенной квадратичной дифференциальной формы

где коэффициенты те же, что и в выражении живой силы. Каждому положению системы в пространстве обобщенных координат будет отвечать точка. Пусть — два положения системы материальных точек в этом пространстве. Задача заключается в том, чтобы отыскать действительную траекторию, соединяющую точки по которой системы будет двигаться из положения в положение при заданных силах и заданной величине полной энергии

Принцип Якоби утверждает, что на действительной траектории системы интеграл

принимает стационарное значение, иначе говоря, вариация интеграла обращается в нуль, т. е.

Принцип Якоби является дальнейшим развитием принципа наименьшего действия Лагранжа. В самом деле, если

поэтому из соотношения

следует

если соответствующим образом определен класс сравниваемых траекторий и полностью исключено время.

Рис. 256

Чтобы убедиться, что принцип наименьшего действия является фундаментальным принципом механики, необходимо показать, что из него следуют все свойства движения механических систем, на которые наложены голономные, не зависящие от времени связи и действуют консервативные силы. Кроме того, нужно убедиться, что принцип может быть получен из других принципов механики.

Свойства механических систем определяются дифференциальными уравнениями движения системы, в качестве которых могут быть приняты уравнения Лагранжа второго рода. Покажем, как могут быть получены эти уравнения из принципа наименьшего действия в форме Якоби.