6. Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки.

Пусть некоторая неизменяемая система отсчета (в частном случае такой системой может быть абсолютно твердое тело совершает определенное движение относительно неподвижной системы координат а материальная точка М движется относительно этой подвижной неизменяемой системы (рис. 36). Движение точки М по отношению к системе координат называют абсолютным движением, а ее траекторию в этом движении —

абсолютной траекторией. Движение точки относительно системы называют относительным движением, а траекторию в этом движении относительной траекторией точки. Если точку М закрепить в некоторый момент в подвижной системе, то она будет двигаться лишь как точка подвижной системы. Такое движение точки называют переносным движением точки в данный момент времени. Соответствующая траектория точки называется переносной траекторией для данного момента времени. Скорость движения точки по абсолютной траектории называют абсолютной траекторией точки, а скорость движения точки по отношению к подвижной системе отсчета — ее относительной скоростью. Если точку в рассматриваемый момент времени закрепить в подвижной системе и рассматривать ее движение вместе с этой системой, то скорость ее движения в этот момент времени представит переносную скорость точки.

Теорема. Абсолютная скорость материальной точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей:

Доказательство. Рассмотрим два близких положения неизменяемой подвижной системы в моменты времени Перемещения точки в абсолютном, относительном и переносном движениях (рис. 36) представляются соответственно векторами Вектор равен геометрической сумме векторов

Средняя абсолютная скорость точки М за время по определению, равна отношению вектора перемещения ко времени т. е.

Разделив равенство (а) на будем иметь

Вектор

определяет среднюю скорость точки в подвижной системе вектор

представляет среднюю скорость переносного движения, поэтому равенство можно переписать в виде

Векторы пропорциональны соответствующим векторам перемещений (рис. 36). В пределе при векторы дают значения истинных скоростей в абсолютном, переносном и относительном движениях, т. е.

Полученная теорема имеет исключительно важное значение в механике. Рассмотрим некоторые примеры на ее применение.

Пример 11. Палочка вращается в плоскости вокруг своего неподвижного конца О с угловой скоростью Точка М скользит вдоль палочки со скоростью V. Определить абсолютную скорость точки (рис. 37).

Решение. Точка участвует в двух движениях. Она перемещается вместе с палочкой и, кроме того, движется вдоль палочкн. Относительно палочки точка совершает прямолинейное движение со скоростью поэтому, приняв за подвижную систему палочку, получим следующее значение относительной скорости точки:

Рис. 37

Рис. 38

Для определения переносной скорости точки рассмотрим движение той точки палочки, которая в данный момент совпадает с движущейся материальной точкой. В переносном движении точка описывает окружность вокруг точки О со скоростью , а потому переносная скорость точки будет равна

Так как векторы переносной и относительной скоростей ортогональны, будем иметь

Полученные значения переносной и относительной скоростей совпадают с известными значениями радиальной и трансверсальной составляющими скорости.

Пример 12. Палочки ОА и вращаются в плоскости чертежа с угловыми скоростями о и соответственно вокруг неподвижных точек О и (рис. 38). На обе палочки одновременно надето кольцо М, перемещающееся при вращении палочек. Определить абсолютную скорость кольца.

Решение. Выберем подвижную систему связанную с палочкой как указано на рис. 38. В этой системе кольцо все время находится на оси х, а его относительная скорость направлена вдоль выбранной оси, причем величина относительной скорости остается пока неизвестной. Переносная скорость колечка равна скорости той точки подвижной системы (палочки которая в данный момент совпадает с колечком. Обозначив через х расстояние получим

Эта скорость направлена параллельно оси у. По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость колечка равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей

Конец вектора относительной скорости расположен на прямой А, параллельной оси х и проходящей через конец вектора переносной скорости. Следовательно, и конец вектора абсолютной скорости колечка будет находиться на прямой А. Выбирая теперь за подвижную систему оси связанные с палочкой и повторяя все рассуждения, придем к заключению, что конец вектора абсолютной скорости будет находиться на прямой проходящей через конец вектора переносной скорости колечка в системе величина которой Точка пересечения прямых определяет положение конца вектора абсолютной скорости колечка.