Вынужденные колебания. Резонанс.

Если на материальную точку кроме упругой силы действует некоторая изменяющаяся со временем сила (возмущающая сила), то колебания называются вынужденными.

Пусть наряду с потенциальными силами, стремящимися вернуть отклоненную от положения равновесия систему обратно в это положение, действуют еще и возмущающие силы, зависящие от времени. Эти возмущающие силы представляют собой некоторые внешние воздействия на механическую систему, выражающиеся в виде сил, действующих на точки системы в заданной системе отсчета. Тогда уравнение движения системы будет иметь вид

Для малых движений системы имеем

поэтому

Общее решение этого уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Наиболее распространенным является тот случай, когда возмущающая сила изменяется по синусоидальному закону

Вводя обозначение общее решение представим в виде

где — произвольные постоянные.

При действии возмущающей силы система совершает сложное колебательное движение около положения равновесия, являющееся результатом суперпозиции (наложения) двух колебаний: собственных колебаний с частотой и вынужденных колебаний с частотой равной частоте возмущающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний

не зависит от начальных условий. Если частота возмущающей силы очень велика, то амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю, и действие возмущающей силы почти не нарушает режим собственных колебаний системы. При частоте возмущающей силы, равной частоте собственных колебаний системы уравнение движения не допускает частных решений вида

В этом случае частное решение можно получить в виде

а для общего решения будем иметь выражение

Отсюда видно, что амплитуда вынужденных колебаний в этом случае неограниченно растет со временем. Такое явление называется резонансом. Резонанс в колебательных системах может стать очень опасным явлением, влекущим за собой разрушение системы вследствие чрезмерного возрастания амплитуды.

Если частоты собственных колебаний и возмущающей силы имеют очень близкие значения, так что разность по модулю очень мала по сравнению с то сложные колебания называют биениями. Биения имеют вид то возрастающих, то ослабляющихся колебаний.

Пример 132. Тяжелый грузик весом Р подвешен на пружинке, верхний конец которой совершает вертикальные гармонические колебания по закону

Предполагая, что жесткость пружинки равна с, а длина невытянутой пружинки равна I, определить закон движения грузика в среде, сопротивление которой пропорционально скорости движения грузика.

Решение. Свяжем начало подвижной системы координат с верхним концом пружинки, приняв за координату — расстояние между двумя концами пружинки. В подвижной системе отсчета на точку будут действовать четыре силы: вес Р, направленный вниз, сила упругости пружинки направленная вверх, когда сила Кориолиса от переносного ускорения , направленная вверх, когда и сила сопротивления среды направленная вверх, когда Уравнение движения грузика примет вид

или, положив

или

Введем обозначения

При отсутствии возмущающей силы движение грузика будет зависеть только от характера корней уравнения

откуда

Если сопротивление среды велико, то система не будет совершать колебаний и процесс движения будет апериодическим, если же сопротивление мало и то система будет совершать затухающие колебания. Рассмотрим этот последний случай. Введем обозначение

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде

где А и В — произвольные постоянные. Частное решение неоднородного уравнения запишем в виде

где — произвольные постоянные. Непосредственная подстановка этого решения в уравнение движения приводит к равенству

откуда получаем

Из этих уравнений имеем

Общее решение теперь получим в виде

Нетрудно видеть, что при наличии сопротивления среды амплитуда колебаний не может возрастать неограниченно. Можно установить зависимость амплитуды вынужденных колебаний

от сопротивления среды и частот собственных и вынужденных колебаний. Для этого перепишем выражение для а в виде

или, вводя обозначения

получим

При вынужденные колебания отсутствуют, а полином

обращается в единицу. Производная от

Если сопротивление среды мало, так что то при достаточно малых значениях будем иметь т. е. при возрастании и амплитуда а тоже возрастает. При или принимает стационарное значение, но

откуда следует, что при амплитуда а получает наименьшее значение, а при — наибольшее. Последний случай называется резонансом в сопротивляющейся среде. При резонансе в сопротивляющейся среде частоты вынужденных и собственных колебаний могут не совпадать.

Постоянная определяет фазу вынужденных колебаний. Нетрудно видеть, что

и при критических значениях имеем

Все последние рассуждения теряют смысл при отсутствии сопротивления среды.