Нелинейные колебания.

Теория нелинейных колебаний, или нелинейная механика, посвящена изучению колебательных движений, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Нелинейная механика дает иногда более точное представление о свойствах колебательных движений механических систем. Как можно было заметить выше, линейные системы получаются в результате упрощения нелинейных. Поэтому изучение линейных систем дает возможность сделать лишь некоторые заключения о свойствах малых движений, однако такое представление может оказаться лишь приближенным.

Реальные системы вообще неконсервативны. Полная механическая энергия таких систем не остается постоянной, а рассеивается. В некоторых случаях процесс рассеивания происходит

медленно, и этим рассеиванием можно пренебрегать, считая справедливым закон сохранения механической энергии. В других случаях рассеиванием энергии пренебрегать нельзя, и системы рассматриваются как неконсервативные.

Простейшей консервативной системой является материальная точка, совершающая движение по некоторой заданной материальной кривой под действием силы, зависящей от положения материальной точки. Движение такой точки полностью определяется уравнением живых сил

где — консервативная сила, действующая на точку. Зная совокупность фазовых траекторий, мы имеем возможность охватить всю картину движений при различных начальных условиях. Для консервативных систем исследование облегчается тем, что имеет место интеграл живых сил

в котором постоянная определяется из начальных условий. Но одному и тому же значению соответствует множество различных состояний системы, что на фазовой плоскости представится линией равной энергии. Изображающая точка будет двигаться по одной из этих линий. Заметим, что уравнение (а) не меняется при замене на —у, а точки, в которых касательные к фазовым траекториям параллельны оси будут находиться на оси х. Касательные к фазовым траекториям будут параллельны оси если

Рис. 261

Для построения фазового портрета нарисуем сначала график функции Затем нужно вычислить квадратные корни из суммы и отложить их на фазовой плоскости вверх и вниз от оси

Пусть, например, при Выберем (рис. 261). Тогда при сумм Отложим на графике прямую Разность будет определять значение на фазовой плоскости. Для данного значения на оси х фазовой плоскости получим три точки, где сумма обращается в нуль Выбирая получим аналогичные точки При получим точки 7 и 8.

Через точки 2 и 3 пройдет замкнутая фазовая траектория. Фазовая траектория, проходящая через точку 4, будет охватывать точку 1 и т. д. Точка 7 — особая точка. Особые точки фазовой плоскости соответствуют стационарным точкам графика функции Фазовые кривые, проходящие через особые точки, называются сепаратрисами. Сепаратрисы состоят из одной или нескольких ветвей, каждая из которых представляет собой отдельную траекторию. Они представляют собой граничные кривые, отделяющие области, заполненные траекториями различных типов.

Положения равновесия системы соответствуют стационарным значениям . Устойчивыми положениями являются те, которые на фазовой плоскости оказываются окруженными замкнутыми кривыми, называемыми циклами, т. е. те, для которых силовая функция имеет в положении равновесия максимум.