§ 2. ТЕОРЕМЫ КАРНО

Рассмотрим некоторые следствия из основного уравнения теории удара, аналогичные теореме живых сил. Будем предполагать, что на точки системы не действуют внешние удары, т. е. выполняются условия

Удар в этом случае происходит только за счет наложения или снятия связей.

1. Предположим сначала, что удар происходит от внезапного наложения связей, не зависящих явно от времени. Пусть, кроме того, внезапно накладываемые на систему связи остаются во всем дальнейшем движении системы. Такие связи называются удерживающими, или неупругими, связями. Среди возможных перемещений системы будут находиться перемещения, совместимые со связями (сохраняющиеся связи). Так как связи не зависят явно от времени, то среди возможных перемещений находятся действительные перемещения, которые будут иметь точки системы после удара, т. е. перемещения, пропорциональные скоростям точек системы после удара:

Подставляя эти значения в основное уравнение теории удара

будем иметь

или

После преобразований вида

получим

Введем понятие вектора потерянной скорости

Тогда полученное уравнение можно будет переписать в виде

Здесь представляет изменение живой силы за время удара. Результат можно сформулировать в теореме, принадлежащей Л. Карно (1753—1823).

Теорема 1. Потеря живой силы системы при наложении связей равна живой силе потерянных скоростей.

Теорема определяет изменение живой силы системы при абсолютно неупругом ударе, происходящем от наложения неупругих связей на систему материальных точек.

2. Рассмотрим случай, когда на систему материальных точек наложены идеальные, не зависящие явно от времени, голономные связи. Предположим, кто в некоторый момент времени связи внезапно снимаются (например, при взрыве летящего снаряда). За время удара происходит освобождение системы от связей. В течение времени удара возможные перемещения системы находятся в соответствии с наложенными связями. При этом среди возможных перемещений находятся и действительные перемещения до удара (соответствующие уравнениям связи), т. е. перемещения, пропорциональные скоростям точек системы до удара:

Подставляя эти значения в основное уравнение теории удара, будем иметь

Преобразуем выражения вида

Проделывая аналогичные преобразования для координат будем иметь из общего уравнения динамики

или, вводя вектор потерянной скорости

откуда

Мы получили вторую теорему Карно, которую можно сформулировать следующим образом:

Теорема 2. При освобождении системы от связей приобретенная живая сила равна живой силе приобретенных скоростей.

Сформулированные здесь теоремы Карно применяются только к неупругим системам.

Переходя к изучению не вполне упругого удара системы материальных точек, заметим, что скорости точек системы до и после удара связаны соотношениями, вытекающими из гипотезы Ньютона:

где — нормальные составляющие вектора скорости до и после удара; касательные, составляющие скорости до и после удара. Введем вектор

расположенный в обшей касательной плоскости соударяющихся поверхностей. Если удар происходит благодаря наложению и снятию связей, то среди возможных перемещений системы будут находиться перемещения, совместимые с накладываемыми на время удара несохраняющимися связями. Среди всех перемещений будут находиться перемещения, пропорциональные векторам т. е.

где — коэффициент пропорциональности. Подставляя эти значения в общее уравнение теории удара, будем иметь

Преобразуем выражение

После аналогичных преобразований для других координат общее уравнение теории удара можно привести к виду

или

т. е.

Полученное уравнение определяет потерю кинетической энергии при не вполне упругом ударе и представляет обобщение теоремы Карно. При потери живой силы не происходит.