2. Равновесие трех сил.

Теорема. Если на твердое тело действуют три силы, и линии действия двух сил пересекаются в некоторой точке А, то равновесие этой системы сил возможно тогда и только тогда, когда линия действия третьей силы тоже проходит через точку А, а силовой треугольник является замкнутым.

Доказательство. Действительно, силы имеют равнодействующую, проходящую через точку А (рис. 92)

а силы и F уравновешиваются только при условии, что они лежат на одной прямой, направлены в противоположные стороны и равны по величине.

Рис. 92

Рис. 93

Пример 32. Однородный стержень весом Р и длиной 2а опирается своим верхним концом А на абсолютно гладкую стену. К его нижнему концу В привязана нерастяжимая нить длиной прикрепленная к стене в точке С, лежащей над точкой А на одной с ней вертикали. Определить угол а, который составляет стержень с вертикалью в положении равновесия (рис. 93).

Решение. На стержень действуют три силы; сила веса, приложенная в центре стержня и направленная по вертикали вниз, сила натяжения веревки Т, направленная вдоль веревки, и сила реакции стенки направленная по горизонтали. Линии действия двух из этих сил — силы веса и силы реакции стенки — пересекаются в точке 5. Из условия равновесия трех сил получим, что и третья сила — сила натяжения веревки — тоже должна проходить через точку Из треугольника теперь легко получить

тогда

после чего находим

т. е.

Реакции определим из условия замкнутости силового многоугольника, которое в данном случае дает

откуда получим

Пример 33. Палочка Л В опирается одним концом на гладкую вертикальную стенку, а другим концом — в угол. Определить реакции в точках А и В, если вес палочки Р, ее длина 21, расстояние (рис. 94).

Рис. 94

Рис. 95

Решение. Реакция в точке А направлена ортогонально к стенке и пересекает линию действия силы Р в точке При равновесии третья сила — сила реакции в точке В — также пройдет через точку Зная направления и построим замкнутый силовой треугольник. Определяя из чертежа

получим

Пример 34. Гладкий однородный стержень Л В длиной и весом Р опирается на острие в точке С, а концом А — в угол. При каком значении I равновесие становится невозможным, если (рис. 95)?

Решение. На стержень действуют три силы: вес, приложенный в точке О, реакция в точке С, ортогональная к стержню, реакция в точке А, обусловленная давлением на стержень пола и стенки. Линии действия двух из этих сил — снлы веса и реакции в точке С — пересекаются в точке Реакция может пройти через точку лишь в том случае, когда лежит внутри угла т. е. когда центр тяжести расположен левее точки Во всех остальных случаях силы реакции не могут уравновесить действия силы тяжести.

Таким образом, равновесие возможно только при условии

Из подобия треугольников имеем

С другой стороны,

откуда следует