§ 3. СИСТЕМА СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

1. Система сходящихся скользящих векторов.

Систему скользящих векторов, все линии действия которых пересекаются в одной точке, будем называть сходящейся.

Определение. Результирующим вектором системы сходящихся в точке О скользящих векторов назовем скользящий вектор с, линия действия которого проходит через точку О, а величина и направление определяются сложением векторов, рассматриваемых как свободные.

Теорема Вариньона. Момент результирующего вектора системы сходящихся векторов относительно начала координат равен геометрической сумме моментов составляющих векторов относительно того же начала.

Доказательство. Докажем сначала теорему для двух сходящихся скользящих векторов. Пусть система состоит из двух скользящих векторов а и , линии действия которых пересекаются в точке А (рис. 13). И пусть с — результирующий вектор этой

системы. Покажем, что момент результирующего вектора с относительно точки О равен сумме моментов составляющих векторов а и Для этого проведем через точку О плоскость ортогональную к прямой и пусть отрезки являются соответственно ортогональными проекциями векторов и с на плоскость По определению, момент вектора с относительно точки О равен по величине удвоенной площади треугольника т. е. произведению расположен в плоскости и направлен лерпендикулярно отрезку Точно так же и моменты та и векторов а и b относительно точки О равны соответственно произведениям и и ортогональны к прямым Отсюда видно, что параллелограмм, построенный на векторах будет подобен параллелограмму, а момент будет совпадать с диагональю этого параллелограмма, т. е. является геометрической (или векторной) суммой векторов Теорема доказана. Она легко распространяется на любую сходящуюся систему скользящих векторов.

Пример 3 Пусть заданы два скользящих вектора: , проходящие через точку . Проверим справедливость теоремы Вариньона

Вектор имеет проекции Момент вектора с относительно начала координат определится по формуле

или

Тогда

Вычисляя моменты векторов а и b относительно начала координат получим

Отсюда очевидна справедливость теоремы Вариньона