4. Теорема живых сил.
Запишем уравнения движения точки в проекциях на декартовы оси координат
Умножим каждое из этих уравнений на соответствующие проекции скорости и сложим результат. Получим
или, после преобразования левой части
Здесь
есть скорость точки. Умножая полученное уравнение на 
будем иметь
величина 
называется живой силой точки, или ее кинетической энергией.
Для обозначения живой силы обычно употребляют букву Т. Величины 
получены из выражения действительной скорости точки в ее движении по траектории под действием силы, поэтому они определяют действительное перемещение материальной точки. Правая часть последнего равенства представляет собой работу силы, действующей на материальную точку, на действительном перемещении этой точки. Полученный результат можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема живых сил. При движении материальной точки изменение живой силы равно работе действующих на эту точку сил на ее действительном перемещении.
Замечание. Теорема живых сил является одним из следствий уравнений движения материальной точки и не может, вообще говоря, содержать в себе все свойства изучаемого движения материальной точки.
Пример 64. Исследовать движение материальной точки в магнитном силовом поле под действием силы Лоренца, определяемой формулой
где 
— скорость движущейся точки; Н — напряженность магнитного поля.
Решение. Проекции этой силы на неподвижные оси координат имеют
а потому теорема живых сил дает только возможность установить, что точка движется с постоянной по величине скоростью. В самом деле,
откуда
Полностью характер движения может быть определен только при помощи теорем об изменении количества движения и момента количества движения.
