§ 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

1. Скорость точки.

Рассмотрим движение материальной точки М по отношению к системе ортогональных осей Геометрическое место последовательных положений точки в этой системе назовем траекторией точки. Положение точки в пространстве можно задать ее координатами х, у, z, которые при движении материальной точки будут меняться в зависимости от времени, так что

Рис. 26

Выписанные уравнения определяют закон движения материальной точки и представляют собой параметрические уравнения траектории точки. В непрерывном движении материальной точки будем рассматривать функции непрерывные вместе со своими производными первого и второго порядков. Рассматривая два близких положения материальной точки М и соответствующие моментам времени вектор соединяющий эти точки, будем называть вектором перемещения точки за промежуток времени (рис. 26). Обозначая через координаты точки М в момент а через в момент для координат вектора перемещения получим значения Отношение вектора перемещения ко времени перемещения назовем средней скоростью точки за время

Направление вектора средней скорости точки совпадает с направлением вектора перемещения точки. Предел этого отношения при назовем истинной скоростью точки

Секущая при займет предельное положение, совпадающее с положением касательной к кривой в точке М. Вектор средней скорости точки имеет проекции на оси координат Проекции истинной скорости определяются соотношениями

Отсюда следует, что проекции вектора скорости являются первыми производными от координат точки по времени.

Производная от радиус-вектора точки. Положение движущейся материальной точки можно определить вектором изменяющимся с течением времени по величине и по направлению относительно некоторой системы осей который будем называть радиус-вектором точки (рис. 26). Вектор перемещения точки можно представить через значение радиус-вектора точки в моменты и

Для средней скорости точки получим теперь выражение

Для истинной же скорости — предел этого отношения

таким образом, скорость точки может быть определена как производная от радиус-вектора точки по времени.

Величину скорости точки можно выразить через ее проекции на ортогональные оси координат.

или

— дифференциал дуги траектории точки. Выбрав определенным образом положительное направление отсчета дуги, можно определить, что при возрастании производная будет положительной. Если условиться, что скорость положительна в направлении возрастания дуги то

Наиболее простым среди всех возможных движений точки является такое движение, при котором в любой момент времени выполняется условие

Такое движение будем называть равномерным. Перепишем последнее уравнение в виде

после интегрирования отсюда получим

последнее равенство представляет собой закон изменения пути со временем.

Пример 6. Точка М совершает движение в плоскости по закону

где — постоянные величины. Определить траекторию и скорость точки.

Уравнение траектории задано в параметрическом виде. Исключив отсюда время получим

т. е. траекторией точки является окружность радиуса Проекции скорости получим, дифференцируя уравнения, определяющие координаты точки как функции времени

Отсюда величина скорости

Пример 7. Ползун В приводится в движение нитью, наматывающейся на шкив радиуса вращающийся с угловой скоростью Найти скорость ползуна как функцию расстояния (рис. 27).

Через неподвижную точку А нить проходит со скоростью . С такой же скоростью изменяется длина отрезка нити Обозначив длину этого отрезка через получим

С другой стороны,

где определяется из соотношения

Дифференцируя тождество получим

где определяется из условия

Подставляя будем иметь

откуда следует

Рис. 27

Рис. 28