§ 4. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки издавна привлекала внимание всех крупных механиков и математиков. Эйлер в 1758 г. впервые рассмотрел решение этой задачи для случая, когда центр масс совпадает с неподвижной точкой. В 1788 г. Лагранжем был исследован другой случай движения тяжелого твердого тела, когда эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, является эллипсоидом вращения, а центр масс твердого тела находится на оси симметрии этого эллипсоида. После открытия Лагранжа в течение целого столетия, несмотря на усилия многочисленных ученых, в том числе таких крупных математиков, как Пуассон, Якоби, Пуансо, не было получено новых существенных результатов. В 1886 г. Парижская академия наук объявила конкурс на соискание премии Бордена за лучшее сочинение на тему о движении твердого тела около неподвижной точки. Эту премию получила С. В. Ковалевская,

представившая в 1888 г. свой мемуар, посвященный решению этой задачи. В случае, рассмотренном С. В. Ковалевской, эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, является эллипсоидом вращения, причем моменты инерции относительно главных осей удовлетворяют соотношению

а центр тяжести твердого тела находится в экваториальной плоскости этого эллипсоида.

После работы С. В. Ковалевской появился ряд исследований русских ученых Г. Г. Аппельрота, Д. К. Бобылева, Д. Н. Горячева, Н. Б. Делоне, Н. Е. Жуковского, Г. В. Колосова, А. М. Ляпунова, Б. К. Млодзеевского, П. А. Некрасова, В. А. Стеклова, С. А. Чаплыгина и других и работы иностранных ученых Гесса, Лиувилля, Леви-Чивита, Хюссона и др. В этих исследованиях либо изучались частные решения задачи о движении тяжелого твердого тела, либо развивались новые идеи, начало которым было положено исследованиями С. В. Ковалевской.

1. Постановка задачи.

Рассмотрим задачу определения движения твердого тела с одной неподвижной точкой, предполагая, что на тело действует только сила тяжести. Движение такого тела будем изучать относительно системы отсчета жестко связанной с Землей, выбрав ее начало в неподвижной точке О и направив ось вертикально вверх. Такая система, вообще говоря, не является инерциальной, и в строгой постановке при изучении движения твердого тела необходимо учитывать кроме силы тяжести еще и влияние на тело сил инерции от кориолисова ускорения. В упрощенной идеализированной постановке предполагается, что в системе на твердое тело действуют только силы тяжести. Движение тела будет определяться динамическими уравнениями Эйлера

в которых правые части представляют собой проекции момента силы тяжести относительно неподвижной точки на оси неизменно связанные с твердым телом и направленные по главным осям эллипсоида инерции, построенного для точки О.

Если обозначить проекции единичного вектора направленного вдоль неподвижной оси на оси х, у, z через то проекции момента силы тяжести на эти оси определятся из матрицы

где — координаты центра тяжести твердого тела относительно осей модуль силы тяжести, так что

Динамические уравнения Эйлера запишутся теперь в виде

Полученные уравнения определяют движение тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. Они содержат шесть неизвестных величин которые могут быть выражены через три угла Эйлера и производные от этих величин. Первые три неизвестные величины непосредственно определяются кинематическими уравнениями Эйлера:

а направляющие косинусы коэффициенты при в этих уравнениях:

После подстановки этих значений в динамические уравнения Эйлера получим систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных величин , и задача сведется к интегрированию этих уравнений.

Иногда удобнее рассматривать систему уравнений в переменных в которых уравнения получают симметричную форму. Но тогда для полноты системы необходимо иметь еще три уравнения. Последние следуют из самого определения величин и были получены Пуассоном. Для получения этих уравнений заметим, что вектор не меняется в системе ни по величине, ни по направлению, так что абсолютная скорость конца вектора равна нулю, т. е.

Принимая за подвижную систему отсчета систему и применяя теорему о сложении скоростей для проекций относительной скорости конца вектора получим значения

(здесь производные берутся в системе Oxyz). Проекции переносной скорости определятся из матрицы

как проекции скорости той точки подвижной системы, которая в данный момент совпадает с концом вектора Из условия равенства нулю абсолютной скорости конца вектора будем иметь

Эти уравнения называются уравнениями Пуассона. Динамические уравнения Эйлера вместе с уравнениями Пуассона представляют полную систему дифференциальных уравнений движения твердого тела, и задача определения движения твердого тела сводится к интегрированию этой системы дифференциальных уравнений.