Устойчивость постоянных вращений твердого тела.
Если твердому телу сообщить вращение вокруг одной из главных осей эллипсоида инерции, то оно будет продолжать вращаться вокруг такой оси неограниченно долго. Такие оси называются постоянными осями вращения. Мгновенная ось вращения остается неподвижной в теле только при вращении вокруг главных осей инерции.
Если мгновенная ось вращения А остается неподвижной в теле, и если обозначить через 
направляющие косинусы этой оси относительно координатных осей х, у, z, то для проекций мгновенной угловой скорости на эти оси будем иметь
Тогда живая сила твердого тела запишется в ввде
Из интеграла живых сил 
получаем, что со есть величина постоянная. Уравнения Эйлера здесь принимают вид
Если эллипсоид инерции не является эллипсоидом вращения, то по меньшей мере два из направляющих косинусов должны равняться нулю, т. е. мгновенная ось вращения совпадает с одной из главных осей инерции. Если же эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения и 
, то либо 
и тело вращается вокруг оси, лежащей в плоскости экватора, либо 
и тело вращается вокруг оси z.
Движение называют устойчивым, если произвольным бесконечно малым изменениям начальных условий соответствуют бесконечно малые изменения самого движения. Движение называют неустойчивым, если некоторое бесконечно малое изменение начальных условий влечет за собой конечное изменение движения (такое определение устойчивости движения является частным случаем определения устойчивости по А. М. Ляпунову, которое будет дано позднее).
Теорема. Если эллипсоид инерции трехосный, то постоянные вращения твердого тела вокруг большей и меньшей осей инерции являются устойчивыми, а постоянные вращения вокруг средней оси инерции — неустойчивыми.
Доказательство. Пусть сначала тело вращается вокруг меньшей (или большей) главной оси эллипсоида инерции. Если бесконечно мало изменить начальные условия, сообщив телу 
чальное вращение вокруг бесконечно близкой оси, то эта ось будет в дальнейшем перемещаться по поверхности аксоида, которому) соответствует полодия на эллипсоиде инерции, представляющая малую замкнутую кривую, бесконечно близкую к вершине малой
оси эллипсоида инерции. Тогда мгновенная ось вращения будет описывать малый конус вокруг постоянной оси вращения. Нетрудно заметить, что герполодия также будет представлять кривую, сколь угодно близко расположенную к точке 
соответствующей постоянному вращению твердого тела. Отсюда заключаем, что рассматриваемое постоянное вращение вокруг меньшей или большей оси эллипсоида инерции устойчиво.
Если за постоянную ось вращения принять среднюю ось эллипсоида инерции, то бесконечно малые изменения начальных условий приведут полюс на полодию, окружающую либо большую, либо меньшую ось эллипсоида инерции. В дальнейшем движении мгновенная ось вращения отклонится от своего первоначального положения на конечное расстояние, перемещаясь по поверхности аксоида. Это значит, что постоянное вращение вокруг средней оси эллипсоида инерции неустойчиво. Теорема доказана.
Рис. 235
Замечание. Методом А. М. Ляпунова можно показать устойчивость постоянных вращений твердого тела чисто аналитическим путем.
