Параметрический резонанс.

Существуют такие колебательные системы, у которых внешнее воздействие сводится лишь к изменению со временем некоторых из ее параметров. Примерами такой системы могут быть маятник, длина которого изменяется по некоторому наперед заданному закону, или человек, раскачивающийся на качелях путем изменения момента инерции относительно оси качания. Возникает вопрос: как будут изменяться колебания системы при периодическом изменении со временем ее параметров. Рассмотрим это явление на примере маятника, длина нити

которого меняется по периодическому закону: . Живая сила такого маятника запишется в виде

а обобщенная сила будет равна

Уравнение движения получит вид

или, предполагая, что величина остается малой во все время движения,

В общем виде это уравнение можно записать так:

Здесь а и b — вообще некоторые периодические функции.

Если ввести новую независимую переменную по формуле

то уравнение движения получит вид

или, так как

Задача сводится к исследованию решений уравнения вида

где — периодически меняющаяся функция т. Уравнения такого вида называются уравнениями Хилла.

Не вдаваясь в подробности, заметим, что общее решение такого уравнения имеет вид

где и произвольные достоянные; — постоянные, определяемые видом уравнения Хилла. периодические функции . Для определения характера решения нужно знать и являющиеся вообще некоторыми комплексными величинами. Если величины равны между собой, то может существовать частное решение вида

Если предположить, что в начальный момент то из свойств определителя Вронского будет следовать, что Таким образом, в отличие от обычного резонанса в рассматриваем случае система будет оставаться в покое.

Если система в начальный момент не находится в покое, то характер решения будет зависеть от свойств чисел Я) и Нетрудно видеть, что если действительные части чисел отрицательны, то амплитуда будет убывать со временем и система будет совершать затухающие колебания.

Отметим еще, что если обе величины чисто мнимые, то решение будет периодическим или почти периодическим, т. е. для сколь угодно малого найдется такое что Если же то амплитуда будет неограниченно возрастать,

В общем случае здесь всегда существует положение равновесия, но оно может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В последнем случае система, выведенная из положения равновесия, автоматически себя раскачивает. Это свойство придает всему явлению характер резонанса. Такой резонанс называется параметрическим, так как он вызван искусственным изменением со временем некоторого параметра. Возрастание амплитуды колебаний происходит лишь тогда, когда правильно подобрана частота изменения параметра.

Существенными для параметрического резонанса являются два свойства: 1) находящаяся в равновесии система не начинает сама раскачиваться; 2) существует сколь угодно много областей параметрического резонанса у данной системы.