3. Влияние диссипативных сил на устойчивость равновесия.

В природе всегда существуют силы сопротивления движению, возникающие благодаря трению или вязкости. Эти силы превращают механические формы энергии в другие формы. Такие силы английским физиком Кельвином названы диссипативными. В механике диссипативные силы представляют в функции скорости. При малых движениях системы можно считать, что силы сопротивления являются линейными функциями скоростей. Эти силы всегда тормозят движение системы, поэтому работа диссипативных сил на действительном перемещении системы всегда отрицательна. Если через обозначить диссипативные обобщенные силы системы, то будем иметь

Полагая, что для малых скоростей имеют место условия

где коэффициенты могут зависеть только от координат точек системы, из выражения элементарной работы получим

Если ввести диссипативную функцию (положительную квадратичную функцию от обобщенных скоростей)

то обобщенные диссипативные силы можно будет представить в виде

Если функция зависит от всех скоростей и является знакоопределенной относительно скоростей, то диссипация называется полной. Коэффициенты этой функции предполагаются постоянными. С помощью диссипативной функции уравнения движения можно записать в виде

где — силовая функция консервативных сил.

Если связи, наложенные на систему материальных точек, не зависят явно от времени, то живая сила Т будет представлять собой однородную квадратичную форму относительно обобщенных скоростей. Умножая в этом случае каждое из уравнений движения на и суммируя полученные уравнения, будем иметь

Левая часть этого уравнения легко преобразуется:

и поскольку есть однородная квадратичная форма относительно обобщенных скоростей, будем иметь

т. е. производная по времени от полной механической энергии системы будет равна диссипативной функции системы, взятой с обратным знаком. Отсюда сразу получаем

Иначе говоря, в процессе движения происходит уменьшение полной механической энергии системы. Из полученного неравенства сразу следует теорема, принадлежащая Кельвину.

Теорема 1. Если положение равновесия консервативной системы устойчиво при одних только консервативных силах, то оно будет оставаться устойчивым и при добавлении диссипативных сил. Рассматривая в качестве функции Ляпунова функцию

являющуюся знакоопределенной положительной функцией координат и скоростей, получим производную от функции V, являющуюся знакопостоянной отрицательной функцией обобщенных скоростей и координат (производная является знакоопределенной только относительно обобщенных скоростей).

При наличии одних только консервативных сил движение системы в окрестности положения равновесия определяется системой линейных дифференциальных уравнений, которые в нормальных координатах могут быть записаны в виде

При наличии диссипативных сил эти уравнения примут вид

Докажем еще две теоремы, принадлежащие, как и первая, Кельвину, о влиянии диссипативных сил на устойчивость положения равновесия голономной консервативной системы.

Теорема 2. Устойчивое положение равновесия становится асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией.

Доказательство. Рассмотрим в качестве функции Ляпунова функцию

где постоянную выберем так, чтобы функция V была знакоопределенной положительной функцией. Записанная в явном виде функция получает вид

Для дискриминанта квадратичной формы V получим выражение

Подбирая из условия

получим, что V является знакоопределенной квадратичной формой Рассмотрим производную от функции V в силу уравнений движения

где — символ Кронекера.

Дискриминант квадратичной формы, заключенной в скобки,

в силу малости величины

Таким образом, производная является знакоопределенной отрицательной формой переменных , т. е. положение равновесия системы асимптотически устойчиво.

Теорема 3. Изолированное и неустойчивое при одних потенциальных силах положение равновесия не может быть стабилизировано диссипативными силами (стабилизация означает, что исследуемое положение равновесия или движение приобретает свойство устойчивости).

Доказательство. Пусть среди существует по меньшей мере один отрицательный коэффициент и нет ни одного равного нулю. Для определенности положим Тогда уравнение, соответствующее имеет вид

где

Общее решение этого уравнения запишется следующим образом:

причем коэффициент связан с начальными условиями соотношением

Если то решение неограниченно возрастает с ростом времени, т. е. положение равновесия неустойчиво.

При наличии диссипативных сил уравнения движения приобретают вид

Введем в рассмотрение функцию Ляпунова

где При будем иметь

Следовательно, всегда будет существовать область Вычислим производную от функции V в силу уравнений движения

Она представляет собой однородную квадратичную форму переменных Дискриминант этой квадратичной формы

(при достаточно малых значениях можно пренебрегать членами с высшими степенями (3). Таким образом, функция V удовлетворяет условиям теоремы Четаева о неустойчивости движения. Теорема доказана.