Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана.
Другим интегральным инвариантом канонических уравнений Гамильтона, распространенным на замкнутую кривую в 
-мерном пространстве, является интегральный инвариант Пуанкаре — Картана:
Пусть
частное решение канонических уравнений Гамильтона, где а и 
— начальные значения координат и импульсов. Введем новую независимую переменную 
условием
где 
— монотонная функция 
так что
Рассматривая а и 
как некоторые непрерывные функции параметра А, определим в расширенном фазовом пространстве замкнутую кривую с:
при 
причем 
и ьпри изменении 
будет меняться сама кривая с. В силу независимости дифференцирования операции 
и 8 перестановочны, поэтому
Дифференцируя теперь выражение 
получим
первый из этих интегралов на замкнутом контуре обращается в нуль,
поэтому
Здесь подынтегральное выражение обращается в нуль в силу канонических уравнений Гамильтона, поэтому 
действительно является интегральным инвариантом.
Можно показать, что если движение системы определяется дифференциальными уравнениями вида
и имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, то имеют место соотношения
которые непосредственно следуют из произвольности и независимости вариаций 
Последнее обстоятельство означает, что инвариант Пуанкаре — Картана может быть положен в основу голономной механики.
Замечание. В интеграле Пуанкаре — Картана функция Гамильтона Н входит на правах импульса. Если ввести новую переменную 
то можно будет определить 
в функции остальных переменных
тогда интеграл Пуанкаре — Картана можно будет переписать в
где роль времени уже играет координата 
. В новых переменных движение будет определяться каноническими уравнениями
Полученные уравнения называются уравнениями Уиттекера.
