2. Метод изменения произвольных постоянных.

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены голономные идеальные связи. Пусть состояние движения системы определяется каноническими переменными

а закон движения определяется из уравнений Гамильтона:

Предположим, что функцию Гамильтона можно представить в виде

и возможно найти решение упрощенной системы дифференциальных уравнений

с помощью полного интеграла

уравнения Г амильтона — Якоби

Общее решение укороченной системы тогда можно будет представить в виде

или

Функции при любых значениях произвольных постоянных а и обращают уравнения в тождества. Если рассматривать не как постоянные, а как некоторые функции времени, то их можно будет подобрать так, чтобы функции

удовлетворяли исходной системе уравнений движения. В этом и заключается идея метода изменения произвольных постоянных, предложенного Лагранжем.

Для выяснения свойства предложенного преобразования рассмотрим изменение функции при переходе с действительной траектории на окольную. Тогда

откуда

Полученное равенство определяет каноническое преобразование с производящей функцией при переходе от канонических переменных к новым переменным Новые переменные удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона

где новая функция Гамильтона

или

Так как V есть полный интеграл уравнения в частных производных

то а канонические (уравнения для переменных а и принимают вид

Последние уравнения называются уравнениями теории возмущений. Сама функция называется возмущающей, или пертурбационной. Она должна рассматриваться как функция величин и получающаяся в результате подстановки вместо их выражений через

До тех пор, пока не делается никаких предположений о функции преобразованная система не имеет особых преимуществ по сравнению с первоначальной. Дело будет обстоять иначе, если остается малой по сравнению с Но, например где — сравнимая с функция, малая величина.

Такого рода задачи встречаются при исследовании движений планеты под действием Солнца, когда необходимо учитывать влияние других планет, или при исследовании влияния фигуры планеты на траекторию спутника. В этих задачах силовая функция может быть представлена в виде ряда, расположенного по степеням малого параметра

Определяя невозмущенное движение при для возмущений первого порядка малости относительно получим уравнения

и если иевозмущенное движение известно, то возмущения первого порядка определятся простыми квадратурами.