3. Функция Гамильтона и ее свойства.

Преобразования Гамильтона связаны с новой функцией Н - функцией Гамильтона, зависящей только от канонических переменных

Такое представление функции оказывается всегда возможным в силу того, что определитель преобразования

отличен от нуля.

Пример 117. Составим функцию Гамильтона для материальной точки, вынужденной оставаться на сфере, радиус которой меняется по некоторому заданному закону:

и на которую не действуют никакие внешние силы.

Положение точки можно определить сферическими координатами из которых — заданная величина, а являются координатами Лагранжа. Тогда живая сила точки

причем

обобщенные импульсы

В общем случае живая сила системы является суммой трех однородных относительно обобщенных скоростей форм

поэтому функция Гамильтона Н может быть представлена в виде

В самом деле,

или, после подстановки значения Т,

На основании теоремы Эйлера об однородных функциях отсюда имеем

или

Если же связи, наложенные на систему, не зависят явно от времени, то

и тогда

представляет собой полную механическую энергию системы.

Пример 118. Составить функцию Гамильтона для эллиптического маятника (рис. 248), состоящего из ползуна массы способного скользить по горизонтальному рельсу, и точки массы соединенной стержнем с ползуном, предполагая, что движение ползуна по рельсу происходит по заранее заданному закону

Система имеет одну степень свободы, и ее положение определяется параметром . Живая сила системы

где

На систему действует сила тяжести с силовой функцией

поэтому функция Гамильтона получает вид

но

поэтому

Рис. 248

Рис. 249

Рассмотрим изменение функции при движении механической системы. Это изменение можно определить, составив выражение для производной по времени от функции Н:

В действительном движении системы координаты удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона, поэтому

т. e. полная производная по времени от функции Гамильтона равна частной производной по времени

Если же функция Гамильтона не зависит явно от времени, то тогда

откуда следует, что в действительном движении выполняется условие

Полученное условие представляет собой первый интеграл канонических уравнений Гамильтона, известный как интеграл Якоби. Он существует при тех же предположениях, что и интеграл Якоби уравнений Лагранжа второго рода.

Если связи, наложенные на систему материальных точек, не зависят явно от времени, то интеграл Якоби совпадает с интегралом живых сил

Пр и мер 119. Составить канонические уравнения движения материальной точки массы которая может свободно скользить по окружности радиуса вращающейся вокруг вертикального диаметра (рис. 249).

Примем за лагранжевы координаты угол поворота системы вокруг вертикальной оси и угол а, определяющий положение точки отсчитываемый от вертикального диаметра. Тогда живая сила системы запишется в виде

и будет представлять собой однородную квадратичную форму относительно . Предположим, что закон вращения окружности вокруг вертикального диаметра задан:

Тогда

Функция Гамильтона

Но

поэтому

и канонические уравнения Гамильтона принимают вид

Если выполняется условие эти уравнения допускают первый интеграл т. е.

Пример 120. Составить канонические уравнения Гамильтона для свободной материальной точки массы движущейся в центральном ньютоновском поле сил, определяя ее положение сферическими координатами.

Живая сила точки в сферических координатах имеет вид (рис. 250)

Рис. 250

Рис. 251

Для силовой функции будем иметь выражение

На точку не наложено никаких связей, а потому функция Г амильтона Я запишется в виде

Определяя импульсы

и заменяя обобщенные скорости в Я их выражениями через импульсы, будем иметь

после чего запишем канонические уравнения Гамильтона

Функция Гамильтона здесь не зависит явно от времени, поэтому существует первый интеграл

или, в явном виде,

Кроме того, уравнения движения допускают еще один первый интеграл, соответствующий циклической координате

Пример 121. Составим канонические уравнения Гамильтона для сферического маятника (рис. 251).

В сферических координатах живая сила и силовая функция точки соответственно равны

Уравнения, определяющие импульсы через обобщенные скорости, имеют вид

Поэтому для функции Гамильтона получим выражение

а канонические уравнения Гамильтона запишутся в виде

Эти уравнения допускают два первых интеграла:

Если координата является циклической, то из условия

будет следовать, что и функция Гамильтона Н не зависит явно от координаты а тогда соответствующее уравнение Гамильтона получит вид

и ему будет соответствовать циклический интеграл

Таким образом, циклическими интегралами оказываются импульсы, сохраняющие постоянное значение во все время движения.

Канонические уравнения Гамильтона имеют ряд преимуществ при исследовании общих свойств движения механических систем с голономными связями.