2. Частные случаи равновесия твердого тела.

Рассматривая общие свойства равновесия твердого тела, отметим следующую теорему.

Теорема. Три силы уравновешивают твердое тело только в том случае, когда все они расположены в одной плоскости.

Доказательство. При приведении системы сил, действующих на твердое тело, к произвольной точке О результирующая сила и момент результирующей пары равны нулю, если твердое тело находится в равновесии. Выберем точку О на линии действия третьей силы (рис. 102). Тогда момент результирующей пары будет

Рис. 102

Но в положении равновесия откуда

Направление вектора момента пары определяется плоскостью треугольника, а потому при равновесии плоскости треугольников должны совпадать. Плоскости эти будут совпадать при приведении к любой точке на линии действия третьей силы. Это и доказывает теорему.

а) Условия равновесия твердого тела с одной неподвижной точкой.

Предположим, что у твердого тела, равновесие которого изучается, закреплена одна точка. Выберем неподвижную прямоугольную систему координат с началом в этой закрепленной точке (рис. 103). Предположим, что на каждый элемент твердого тела с массой координаты которого обозначим через действует сила Через обозначим силу реакции в точке О. Выбирая за центр приведения неподвижную точку О, получим условия равновесия твердого тела, не включающие реакции связи

Приравнивая нулю результирующую силу, приходим к уравнениям для определения реакций связи

б) Условия равновесия твердого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси.

Неподвижность оси может быть достигнута закреплением двух точек тела О и (рис. 104), хотя можно было бы закрепить и большее число точек, расположенных на одной прямой. Пусть на частицу тела действует активная сила

Уравнения равновесия твердого тела можно получить, выбирая за центр приведения одну из неподвижных точек, например точку О. В качестве системы неподвижных осей выберем прямоугольные оси с началом в точке О, причем ось z направим по прямой Тогда уравнения равновесия получат вид

где — проекции силы на оси — проекции силы реакции в точке О на эти же оси; проекции силы реакции в точке на оси — расстояние между точками О и

Рис. 103

Рис. 104

Рассматриваемое твердое тело может свободно вращаться вокруг оси проходящей через две неподвижные точки, а его положение в пространстве определяется одним параметром, в качестве которого можно взять угол поворота твердого тела вокруг этой оси. Условием равновесия, определяющим этот параметр, является последнее уравнение системы

Пять остальных уравнений служат для определения шести неизвестных проекций сил реакции связи. Эта задача не может быть полностью разрешена из-за того, что уравнений оказывается меньше, чем неизвестных, подлежащих определению. Такого рода задачи называются статически неопределимыми. Равновесие твердого тела не изменится, если в точках О и добавить две равные по величине и направленные в противоположные стороны по прямой силы. Такие силы могут быть обусловлены начальными напряжениями. Если в точке поставить цилиндрический подшипник так, чтобы реакция в точке была направлена перпендикулярно к оси z, то задача станет статически определимой. Разрешить статически неопределимую задачу можно также, отказавшись от гипотезы абсолютно твердого тела, как это и делается в курсах сопротивления материалов.

в) Условия равновесия твердого тела, способного перемещаться параллельно неподвижной плоскости.

Рассмотрим задачу о равновесии твердого тела, опирающегося несколькими своими точками на неподвижную гладкую плоскость Силы реакции со стороны плоскости здесь будут действовать только на точки контакта и ортогональны к плоскости Обозначим точки контакта через а их координаты через . Тогда уравнения равновесия получат вид

где проекции активных сил на оси — координаты точек приложения активных сил, — сила реакции, действующая на точку твердого тела.

Два первых и последнее уравнения дают необходимые условия равновесия твердого тела. Три остальных уравнения определяют силы реакции, действующие на твердое тело. Очевидно, что из трех уравнений можно определить только три неизвестные силы реакции. Задача определения сил реакции в том случае, когда твердое тело касается плоскости более чем тремя точками, не может быть разрешена методами статики абсолютно твердого тела и является статически неопределимой задачей. Для разрешения такого рода задач необходимо вводить дополнительные гипотезы.

Рассмотрим частный случай, когда твердое тело опирается о плоскость только тремя своими точками. Для определения сил реакции имеем три уравнения, которые запишем в виде

Здесь

Система уравнений (а) обладает решением только в том случае, когда определитель системы отличен от нуля, т. е.

Отсюда видно, что задача определения реакций разрешима только тогда, когда все три точки не лежат на одной прямой. Если это условие не выполняется, задача определения реакций становится неразрешимой, и мы снова приходим к статически неопределимой задаче.

Из необходимых условий равновесия

следует, что в рассматриваемом случае система активных сил, действующих на твердое тело, приводится к одной результирующей силе, линия действия которой параллельна оси Обозначая результирующую силу через F, а координаты точки пересечения ее линии действия с плоскостью через а и уравнения для определения сил реакции запишем в виде

где F проекции вектора F на ось Из первого уравнения следует, что Два других уравнения после подстановки значения F можно переписать в виде

Эти уравнения определяют центр системы параллельных векторов который, как известно, находится внутри треугольника, образованного точками приложения этих векторов, т. е. точками соприкосновения тела и плоскости. Полученные условия равновесия сводятся к тому, что линия действия результирующей силы F проходит внутри треугольника, образованного точками касания.

г) Замечание о статически неопределимых задачах.

Рассмотрим тот случай, когда определитель А обращается в нуль

т. е. когда выполняется условие

Последнее имеет место в случае, когда все три точки расположены на одной прямой (если точки не совпадают). Не нарушая общности, можно предположить, что все точки расположены на оси х (рис. 105) и, следовательно,

Тогда уравнения для определения реакций примут вид

Последнее из этих уравнений дает условие равновесия активных сил, два первых уравнения служат для определения трех неизвестных реакций. Как уже отмечалось, задачи статики, в которых неизвестных больше, чем независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми задачами.

Рис. 105

Рис. 106

Статическая неопределенность обусловливается излишними связями, накладываемыми на систему материальных точек, и может быть устранена освобождением системы от лишних связей. Такое освобождение системы от лишних связей осуществляется заменой связей силами, величины которых определяются из дополнительных условий, являющихся следствием вводимых физических гипотез. Так, например, рассматривая задачу о равновесии стержня, покоящегося на трех опорах, можно предположить, что одна из опор выполнена из упругого, легко деформируемого материала. Предположим, что возникающая при деформации сила сопротивления стержня подчинена закону Гука, а ее величина прямо пропорциональна величине сжатия опоры. Предположим, кроме того, что две другие опоры абсолютно жесткие, т. е. их деформации пренебрежимо малы. Обозначив через длину несжатой опоры, а через длину опоры, когда на нее положен груз, силу, действующую со стороны опоры на балку, найдем из условия

Тогда уравнения для определения реакций получат вид

Отсюда сразу определяются неизвестные силы реакции

Замечание. Статически неопределимые задачи могут стать статически определимыми, если систему частично освободить от некоторых связей.

Пример 38. Исследовать равновесие тяжелой абсолютно твердой палочки весом Р, закрепленной шарнирно в двух точках А и В (рис. 106).

Решение. Задача определения горизонтальных составляющих реакций в точках оказывается неразрешимой (статически неопределимая задача). Если частично освободить палочку от связей, оставив в точке А шарнирное закрепление, а в точке В вместо шарнира ввести точечную опору, препятствующую перемещению палочки вниз, то задача станет статически определимой (предполагается, что палочка гладкая). Полученная статически определимая задача не эквивалентна первоначальной.

В общем случае статически неопределимые задачи могут быть сделаны определимыми, если вместо гипотезы абсолютно твердого тела ввести гипотезу упругого тела, подчиняющегося закону Гука. Такого рода задачи решаются в курсах теории упругости и сопротивления материалов.

При исследовании равновесия системы абсолютно твердых тел статическая неопределимость может возникнуть как некоторое предельное положение системы.

Рис. 107

Рис. 108

Пример 39. Исследовать равновесие системы, состоящей из двух тяжелых однородных стержней, соединенных между собой шарнирно и закрепленных шарнирно в точках А и В (рис. 107), предполагая, что расстояние между точками А и В равно сумме длин стержней, так что оба стержня вытянуты в одну прямую линию.

Решение. Рассматриваемая задача является статически неопределимой, и реакции не могут быть найдены методами геометрической статики. Выбрав систему осей как это показано на чертеже, и, обозначив через соответствующие проекции реакций в точках А и В на эти оси, приведем систему сил, действующих на оба стержия, к точке А. Необходимые условия равновесия системы

Отсюда сразу получим Для определения двух величин имеем только одно уравнение. Если же рассмотреть условия равновесия стержня то, приводя систему сил, действующих на этот стержень, к точке С, будем иметь

Отсюда находим что при противоречит полученным ранее результатам. Новых условий для определения реакции и в этом случае не получаем.

Противоречие устраняется, если отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела или исключить условие о том, что расстояние между точками А и В равно сумме длин стержней. Рассмотрим это последнее предположение. Пусть расстояние АВ меньше суммы длин стержней (рис. 108). Тогда стержни образуют угол а с прямой, соединяющей точки А и В. Для определения реакций приведем сначала систему сил, действующих на оба стержня, к точке А. Тогда

Из этой системы уравнений следует, что

Приводя затем систему сил, действующих на стержень к точке С, получим следующую систему уравнений:

которая дает

Реакции теперь полностью определяются (реакция в точке А находится из первой группы уравнений). Заметим, что при величина реакции т. е. на стержень будут действовать очень большие растягивающие силы. В реальной задаче стержни не являются абсолютно твердыми, и эти усилия растягивают стержень так, что угол а при равновесии имеет конечное значение, отличное от нуля. Дальнейшее развитие изложенных положений можно найти в оригинальной монографии Пэнлеве «Лекции о трении».