§ 8. ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

В технических задачах большое значение имеют вопросы движения материальной точки, перемещения которой стесняются связями. Сюда относятся задачи о движении материальной точки по кривой и по поверхности.

1. Движение материальной точки по кривой.

Наиболее просто представляется движение материальной точки по кривой. Ее положение на кривой определяется всего одним параметром и для полного определения движения точки достаточно определить закон изменения этого параметра со временем.

Рассмотрим движение материальной точки по гладкой материальной кривой , предполагая, что кривая может со временем менять свою форму и положение относительно системы отсчета в которой определены силы, действующие на материальную точку. Кроме активных сил на точку будут действовать еще и силы реакции связи. Так как кривая гладкая, то силы реакции не препятствовать перемещению точки по кривой, и полная реакция кривой будет ортогональна к кривой.

Будем сначала предполагать, что кривая задана в пространстве, определяемом системой отсчета уравнениями

т. е. представляется как геометрическое место точек пересечения двух поверхностей. Пусть и -нормали, проведенные в точке соответственно к поверхностям Вектор будет коллинеарен с вектором градиента к поверхности и его проекции будут пропорциональны частным производным

Вектор имеет соответственно проекции, пропорциональные частным производным

Любая нормаль к кривой будет лежать в плоскости нормалей Обозначая через силу реакции кривой на материальную точку, будем иметь

Полагая, что на точку действует еще активная сила получим уравнения движения точки

Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа первого рода.

а) Теорема живых сил.

Умножая уравнения движения соответственно на и складывая их, получим в левой части

В правой же части будем иметь

Точка движется в соответствии с наложенными на нее связями, а координаты точки в каждый момент времени удовлетворяют уравнениям поверхностей

представляющих собой тождества по времени. Дифференцируя эти тождества, будем иметь

и окончательно получим

или после умножения на теорему живых сил представим в виде

Уравнение получает простой вид, когда связи, наложенные на точку, не зависят явно от времени. Тогда , и уравнение запишется следующим образом:

В результате получаем, что если связи, наложенные на материальную точку, не зависят явно от времени, то теорема живых сил получает такой же вид, как и для свободной материальной точки. Если, кроме того, активные силы обладают силовой функцией, зависящей только от координат, т. е. существует функция удовлетворяющая условиям

то правая часть уравнения живых сил будет представлять собой полный дифференциал от функции и уравнение получит вид

отсюда сразу же получаем первый интеграл уравнений движения — интеграл живых сил

Постоянная живых сил определяется из начальных условий. Мы получаем следующую теорему.

Теорема. Если связи, наложенные на материальную точку, вынужденную оставаться на материальной кривой, не зависят явно от времени, а действующие на точку активные силы обладают силовой функцией, то уравнения движения материальной точки допускают существование первого интеграла — интеграла живых сил.

б) Качественное исследование движения.

Положение материальной точки на кривой может быть определено одним параметром — длиной дуги кривой. Поэтому для решения задачи о движении материальной точки по кривой достаточно всего одного уравнения движения, вместо которого можно принять интеграл живых сил, если только он существует.

Рассмотрим задачу о движении тяжелой материальной точки М с массой по неподвижной замкнутой кривой с непрерывно меняющейся касательной (рис. 160). В рассматриваемом случае связи, наложенные на материальную точку, не зависят явно от времени, а действующие силы обладают силовой функцией. Поэтому будет существовать интеграл живых сил

Рис. 160

Поскольку ось направлена вертикально вверх, получим

или

Положив перепишем интеграл в виде

Из этого соотношения видим, что скорость обращается в нуль только на горизонтальной плоскости

Обозначим эту плоскость через Если через Р обозначить проекцию точки М на плоскость то для скорости получим значение

откуда видно, что скорость определяется расстоянием точки М от плоскости

Может оказаться, что плоскость не имеет общих точек с кривой Если плоскость «выше» кривой, то скорость нигде не обращается в нуль, и точка будет двигаться сколь угодно долго по кривой. Ниже кривой плоскость не может быть расположена, так как правая часть равенства должна быть неотрицательна.

Предположим, что кривая пересекает плоскость в точках А и А. Обозначая через длину дуги, отсчитываемую от точки будем иметь

откуда

Уравнение кривой позволяет определить

а тогда в предыдущем уравнении можно разделить переменные

Пусть точка начинает свое движение из положения Обозначим длину дуги через I. Обозначая через дугу, определяющую положение точки в некоторый момент времени, и рассматривая как функцию разложим в ряд Тэйлора в окрестности точки А

Если производная от z по в точке А отлична от нуля, то разложение будет начинаться с членов первого порядка малости относительно а для величины получим выражение

Для точек, лежащих ниже плоскости всегда будем иметь при этом

Рассмотрим интеграл

который определяет время движения точки из положения в положение А Этот интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция

где

при неограниченно возрастает. На основании признака Коши при интеграл будет сходиться, если функция является бесконечно большой порядка по сравнению с и будет расходиться, если будет порядка по сравнению с .

Если в точке А первые производных от функции обращаются в нуль, то

т. е. функция будет иметь порядок При интеграл сходится, а при интеграл расходится В первом случае время, необходимое для достижения точки А, определяется сходящимся интегралом. После достижения точки А движущаяся материальная точка возвращается к положению которое она достигает со скоростью и далее движется к точке А. Движение в этом случае будет иметь колебательный характер.

Во втором случае, когда 12

движущаяся точка будет неограниченно приближаться к точке А, никогда ее не достигая.

Положение материальной точки на кривой определяется всего одним параметром. Такое движение называют однопараметрическим. Если действующие на точку силы обладают силовой функцией, то движение будет происходить в соответствии с интегралом живых сил. Для изображения состояния движения материальной точки удобно воспользоваться понятием фазовой плоскости, т. е. плоскости, на которой переменные рассматриваются как декартовы координаты точки. Каждая точка фазовой плоскости изображает определенное состояние материальной точки, поэтому такую точку называют изображающей. При движении материальной точки изображающая точка будет описывать некоторую кривую, которая называется фазовой траекторией и не является действительной траекторией движения. Скорость движения изображающей точки называется фазовой скоростью, которая не является скоростью настоящей материальной точки.

Если определить силовую функцию как то интеграл живых сил

будет определять семейство фазовых траекторий на фазовой плоскости. Задание начального состояния движения материальной точки определяет и однозначно определяет фазовую траекторию точки. Семейство фазовых траекторий является однопараметрическим семейством. Фазовые траектории, соответствующие различным начальным условиям (различным между собой не пересекаются, что следует из условия единственности решения уравнений движения. Движение изображающей точки по траектории происходит по часовой стрелке, так как в точках, где координата должна возрастать при движении изображающей точки. Состоянию покоя могут соответствовать только точки, находящиеся на оси причем фазовые траектории пересекаются с осью под прямым углом. Точки, в которых обращаются в нуль и производная называются особыми точками фазовой плоскости. В особых точках скорость изображающей точки равна нулю. Все эти точки находятся на оси Зная совокупность фазовых траекторий, можно видеть всю картину возможных движений при различных начальных условиях.

Перепишем интеграл живых сил в виде

где При помощи этого интеграла легко можно построить фазовые траектории. В самом деле, нетрудно видеть, что все фазовые траектории симметричны относительно оси Геометрическим местом точек, где касательные к фазовым кривым горизонтальны, будут точки, определяемые из уравнения

за исключением, быть может, особых точек. Можно предложить следующий способ построения фазовых траекторий. Построим сначала график функции (рис. 161). Пусть некоторые начальные значения определяют постоянную Построим горизонтальную прямую Разность определяет . Если провести другую прямую то получим другую фазовую траекторию. В результате такого построения на фазовой плоскости получим континуум замкнутых кривых, вложенных одна в другую и охватывающих выродившуюся в точку фазовую траекторию. Особая точка здесь соответствует положению равновесия материальной точки.

Особая точка типа «центр» будет соответствовать устойчивому положению равновесия материальной точки. Особая точка

седлового типа соответствует неустойчивому состоянию равновесия. Нетрудно видеть, что в первом случае особая точка соответствует максимуму силовой функции, а в случае седловой точки будем иметь минимум силовой функции. Фазовые траектории с самопересечением называются сепаратрисами.

в) Математический маятник.

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки по окружности радиуса Положение точки на окружности определим центральным углом (рис. 162). Тогда

Рис. 161

Рис. 162

так что

отсюда находим

Если наинизшее положение является начальной точкой, тогда, интегрируя, получим

Выполним замену переменной и положим

Так как при , кроме того,

то

Таким образом, время движения материальной точки (четверть периода) выражается через эллиптический интеграл первого рода. Но выражение

можно разложить в ряд

и тогда задача сведется к вычислению интегралов типа

Отсюда для периода получим

Если амплитуда колебаний а достаточно мала, то в разложении для периода колебаний можно пренебрегать членами, содержащими Приближенное значение периода в этом случае будет

Если период вычисляется по этой формуле, то уже при амплитуде в 20° ошибка периода достигает 0,8%, при при Для математического маятника, длина которого при амплитуде 90° ошибка периода достигает 1 сек.

г) Циклоидальный маятник.

Нидерландский математик и механик Христиан Гюйгенс (1629—1695) изобрел маятник, период колебаний которого не зависит от амплитуды колебаний (изохронный маятник). Оказалось, что период не зависит от амплитуды, если точка движется по циклоиде.

Циклоида представляет собой кривую, которую описывает точка обода круга, катящегося по неподвижной прямой (рис. 163).

Рис. 163

Пусть циклоида имеет горизонтальное основание, расположена в вертикальной плоскости и обращена своей вогнутостью вверх. За ось х примем неподвижную горизонтальную прямую, касающуюся циклоиды в нижней точке, ось у направим вертикально вверх. Уравнение циклоиды можно параметрически представить в виде

откуда

скорость точки

Применяя интеграл живых сил

получим

Пусть при тогда и интеграл живых сил приобретает вид

или

Полагая получим

откуда будем иметь

т. e. время движения точки до самого низшего положения не зависит от начального положения точки (от амплитуды).

д) Определение реакции.

Если для изучения движения точки по кривой применить естественные уравнения движения, то будем иметь одно уравнение, определяющее само движение точки, и два уравнения для определения реакции

Первое из этих уравнений эквивалентно теореме живых сил и приводит к интегралу живых сил, если выполнены условия существования последнего.

Пример 73. Шарик, масса которого равна нанизан на горизонтальную проволочную окружность радиуса Зная коэффициент трения определить, какую начальную скорость нужно сообщить шарику, чтобы он сделал по окружности один полный оборот.

Решение. На точку действуют три силы: снла тяжести, нормальная реакция и сила трения. Составим уравнения движения точки

Последние два уравнения дают модуль полной реакции

При помощи этого соотношения приведем первое уравнение движения к виду

или

Разделяя переменные, будем иметь

Но

откуда

При

или

откуда

Окончательно имеем