7. Метод Роберваля построения касательных к плоским кривым.

Рассмотрим способ построения касательных к плоским кривым второго порядка. Каждую такую кривую можно рассматривать как траекторию материальной точки, находящейся в сложном движении. Абсолютная скорость движения точки по такой кривой будет определять направление касательной к кривой. Для определения направления абсолютной окорости движение материальной точки представляют как сумму двух более простых движений, направления которых могут быть известны.

Пример 13. При помощи теоремы о сложении скоростей построить касательную к эллипсу (рис. 39).

Решение. Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов эллипса) является величиной постоянной

где а — большая полуось эллипса.

Выберем неподвижную систему осей с началом в первом фокусе, направив ось в сторону движущейся по эллипсу точки М. Относительная скорость точки М будет равна скорости изменения расстояния от точки М до фокуса

Выбирая вторую подвижную систему координат с началом во втором фокусе, направим ось на точку М. Относительная скорость точки М в новой системе координат направлена вдоль оси а ее величина равна скорости изменения расстояния от точки М до фокуса

Рис. 39

Рис. 40

Из уравнения (а) имеем

или

обе системы осей обладают только вращательным движением вокруг соответствующих фокусов, поэтому переносные скорости будут направлены перпендикулярно к прямым На основании теоремы о сложении скоростей находим положение конца вектора абсолютной скорости, который лежит на пересечении перпендикуляров к прямым проведенным через концы соответствующих относительных скоростей.