Влияние диссипативных сил на малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.

До сих пор рассматривались малые колебания механических систем. При этом предполагалось, что на систему наложены идеальные связи и всякое сопротивление движению системы отсутствует. На самом деле на всякую механическую систему действуют некоторые силы сопротивления. В общем случае характер этих сил очень сложный и каждый раз определяется экспериментально. В простейшем случае предполагается, что силы сопротивления, действующие на каждую точку системы, пропорциональны скорости движения соответствующей точки и направлены в сторону, противоположную скорости движений этой точки.

Будем предполагать, что обобщенные силы, соответствующие силам сопротивления, линейны относительно скоростей соответствующих точек

и матрица постоянных коэффициентов является симметрической, так что

и квадратичная форма неотрицательна

Функция

называется диссипативной функцией Релея. Она характеризует сопротивление среды. Обобщенные силы сопротивления среды можно теперь представить в виде

Мы будем предполагать, что силовая функция активных сил, действующих на систему материальных точек имеет в положении равновесия изолированный максимум и что в некоторой окрестности положения равновесия она является знакоопределенной отрицательной функцией переменных Тогда для малых движений системы в окрестности положения равновесия живую силу и силовую функцию можно представить в виде

где — постоянные величины. Будем предполагать, что диссипативная функция является знакоопределенной положительной функцией обобщенных скоростей. Тогда уравнения движения системы в окрестности положения равновесия можно будет записать в виде

или в матричной записи

где А, В и С — квадратные матрицы; — матрица-столбец. Разыскивая решение системы в виде

( — матрица-столбец с постоянными элементами, k — некоторое число), получим после подстановки в уравнение и сокращения на

или

Умножая каждое уравнение на где — величина комплексно сопряженная с и складывая, получим

или в сокращенных обозначениях

где откуда видно, что любой корень к удовлетворяет квадратному уравнению с положительными коэффициентами, поэтому

Если — комплексный корень, то существует и комплексно сопряженный корень

Комплексно сопряженным корням отвечают и комплексно сопряженные решения дифференциальных уравнений, сумма которых всегда может быть приведена к вещественному виду

где А и В — произвольные вещественные постоянные. Если же X — вещественный корень, то и второй корень тоже будет вещественным отрицательным. Отсюда следует, что добавление диссипативных сил делают колебания системы либо затухающими, либо колебания при добавлении диссипативных сил переходят в затухающие апериодические движения.

Рассмотрим влияние малых диссипативных сил на главные колебания системы. Пусть в главных координатах

а диссипативная функция

является знакоопределенной положительной функцией, и все ее коэффициенты и рмалы. Уравнения движения системы в этом случае получат вид

Разыскивая решение этих уравнений в виде

для определения величин получим уравнения

Определитель этой системы уравнений имеет вид

Раскрывая этот определитель и отбрасывая члены, содержащие малые произведения будем иметь

В первом приближении корни этого уравнения имеют вид

а так как величины малы по сравнению см, то можно записать

Решение, соответствующее этим корням, можно представить в виде

откуда можно сделать следующие замечания:

1. В первом приближении малые диссипативные силы не изменяют частот консервативной системы.

2. При добавлении малых диссипативных сил колебания затухают при