4. Инварианты системы свободных векторов.

Рассмотрим свойства свободных векторов, не зависящие от выбора системы

отсчета, предполагая только, что каждый раз выбирается прямоугольная система отсчета с одной и той же единицей измерения. Эти свойства называются инвариантными по отношению к преобразованию системы координат (за исключением зеркального отображения), а сами величины — инвариантами. Для свободных векторов такими инвариантами являются следующие величины.

а) Величина вектора. При изменении системы координат меняются проекции вектора на оси координат, величина же вектора

остается неизменной. Она является первым инвариантом по отношению к изменению осей.

Рис. 5

б) Скалярное произведение двух векторов. Рассмотрим систему, состоящую из двух свободных векторов а и которые перенесем в начало координат О (рис. 5). Пусть — угол между положительными направлениями векторов. Скалярным произведением векторов а и b называют скалярную величину

которая зависит только от модулей векторов, инвариантных относительно преобразования координат указанного типа, и от угла между векторами. Все эти величины можно выразить через проекции векторов на оси координат. В самом деле, пусть — проекции вектора а на оси координат, — соответствующие проекции вектора Из треугольника имеем

Определяя отсюда , получим

откуда получим аналитическую запись второго инварианта — скалярного произведения, которое в дальнейшем будем обозначать круглыми скобками

Второй инвариант принимает теперь следующий вид:

в) Векторное произведение. Третьим инвариантом: системы свободных векторов относительно изменения системы координат является векторное произведение двух векторов. Этот инвариант имеет векторный характер. Он определяет плоскость, параллельную двум свободным векторам, и численно равен площади параллелограмма, который можно построить на двух свободных векторах, если их перенести в одну точку. Рассмотрим систему, состоящую из двух свободных векторов а и Ь, перенесенных в начало системы координат (рис. 5). На векторах а и b построим параллелограмм. Площадь этого параллелограмма, как известно, не зависит от выбора системы координат а зависит лишь от взаимного расположения и величин векторов а и b и определяется формулой

где — угол между линиями действия векторов а и Рассмотрим свободный вектор модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и а направление линии действия перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами а. и Вектор направлен в ту сторону, откуда вращение от вектора а к вектору b (внутри параллелограмма) осуществляется против хода часовой стрелки. Построенный свободный вектор назовем векторным произведением векторов а и b и обозначим символом

Векторное произведение не зависит от выбора системы координат.

Проекции векторного произведения на оси координат. Построим на векторах а и b треугольник (рис. 6). Величина векторного произведения векторов а и b будет равна удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах.

Найдем проекцию вектора на ось

где — проекции точек А и В на плоскость

— проекции вектора а на оси — соответствующие проекции вектора

Замечание. Площадь треугольника можно легко вычислить (рис. 7)

но

отсюда

и

Рис. 6

Рис. 7

Аналогично получаем две других проекции

Обозначая через единичные векторы координатных осей , результат можно представить в виде

или более компактно при помощи определителя

Иногда употребляется матричное обозначение

Из определения векторного произведения сразу же следует его некоммутативность, т. е.

так как перестановка строк в определителе, представляющем векторное произведение, влечет за собой смену знака.

Смешанным произведением векторов называют скалярное произведение вектора на векторное произведение двух, других векторов:

Из определения следует

Так как две перестановки строк не меняют знака определителя, то будет иметь место следующее свойство смешанного произведения:

т. е. при циклической перестановке векторов (замена а на b, b на с, с на а) смешанное произведение не меняется.

Дистрибутивность векторного произведения

непосредственно следует из свойств определителей.

Двойным векторным произведением называют векторное произведение вектора а на векторное произведение (рис. 8), или

Вектор Q (на чертеже он не указан) перпендикулярен к векторам . В свою очередь вектор перпендикулярен к плоскости , в которой лежат векторы b и с. Отсюда следует, что вектор будучи перпендикулярным к вектору лежит в плоскости и может быть представлен в виде линейной комбинации векторов b и с, т. е.

Для определения вектора Q теперь достаточно вычислить коэффициенты и у. Введем в плоскости вектор перпендикулярный к вектору с. Умножая равенство скалярно на вектор в силу условия находим

Подставляя сюда значение Q

получим

Легко подсчитать величину этого скалярного произведения. С этой целью вычислим сначала модуль векторного произведения

Так как векторное произведение представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам и то его линия действия будет совпадать с линией действия вектора с.

Рис. 8

Рис. 9

Для скалярного произведения получим теперь значение

В то же время для скалярного произведения векторов b и будем иметь

причем знак перед косинусом совпадает со знаком выражения т. е.

Поскольку

то

откуда следует

Вводя вектор ортогональный вектору аналогичным способом получим (рис. 9)

или

Но

Определив величину вектора

направление которого совпадает с направлением вектора находим

Таким образом,

откуда

Подставляя значения коэффициентов и у в формулу получим

Эту же формулу можно получить и чисто аналитически. В самом деле, рассмотрим проекцию вектора Q на ось z. По определению лроекции имеем

Аналогично получим две других проекции

На основании этих выражений для проекций, можно записать векторное равенство