§ 6. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
1. Основные теоремы.
Задача об устойчивости имеет значение не только при исследовании положений равновесия, но и при исследовании движения механических систем. Она возникает в связи с необходимостью знать, как изменится движение при отклонении начальных условий от заданных. Исследованием вопросов устойчивости равновесия занимался еще Аристотель. Лагранж сформулировал известную теорему об устойчивости равновесия и рассмотрел малые возмущенные движения в окрестности положения равновесия системы. Развитием учения об устойчивости равновесия и движения занимались такие крупнейшие ученые, как П. Тэт (1831 — 1901), Томсон (лорд Кельвин) (1824—1907), Э. Раус, А. Пуанкаре, Н. Е. Жуковский (1847—1921) и др.
Наиболее полное решение задачи об устойчивости движения дал А. М. Ляпунов в своей докторской диссертации в 1892 г. В настоящее время задачи об устойчивости решаются во всех областях механики.
Предположим, что уравнения движения механической системы сведены к дифференциальным уравнениям
правые части которых являются голоморфными функциями координат 
и пусть
некоторое частное решение системы, отвечающее начальным данным 
при 
Это частное решение назовем невозмущенпым движением. Все другие решения системы будем называть возмущенными движениями.
Разности значений 
для возмущенного и невозмущенного движений
называются возмущениями.
Определение. Невозмущенное движение 
будем называть устойчивым по отношению к величинам 
если для всякого положительного числа А, как бы мало оно ни было, всегда найдется другое положительное число X, такое, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих в начальный момент неравенству
при всяком 
будет выполняться условие
в противном случае невозмущенное движение будем называть неустойчивым.
Решение задачи об устойчивости движения зависит от тех дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют возмущения
и которые мы будем называть уравнениями возмущенного движения. Уравнения эти получаются следующим образом:
или
Определению устойчивости движения можно теперь дать иную формулировку.
Невозмущенное движение 
будем называть устойчивым, если для любого положительного числа А, как бы. мало оно ни было, можно всегда подобрать другое положительное число X такое, что для всех возмущений, удовлетворяющих в начальный момент условию
для всех значений 
будет выполняться неравенство
Если уравнения возмущенного движения не включают явно времени 
то невозмущенное движение будем называть установившимся, в противном случае — неустановившимся.
Будем предполагать, что правые части дифференциальных уравнений возмущенного движения являются непрерывными ограниченными функциями переменных 
допускающими единственное решение для каждой системы начальных значений переменных, лежащих в области
