6. Мгновенное движение твердого тела с одной неподвижной точкой.

Мгновенное движение твердого тела, у которого закреплена одна точка, представляет собой частный случай общего мгновенно-винтового движения твердого тела. Но в общем случае мгновенно-винтового движения все точки тела, расположенные на мгновенной винтовой оси, имеют наименьшую скорость. У твердого тела с одной закрепленной точкой наименьшую скорость, равную нулю, имеет сама закрепленная точка. Поэтому в рассматриваемом случае винтовая ось должна проходить через неподвижную точку О, а точки тела, расположенные на винтовой оси, будут иметь скорости, равные нулю. Тогда скорость произвольной точки тела будет определяться по формуле

и распределение скоростей будет таким же, как и при вращении вокруг мгновенной оси. Параметр винта

здесь обращается в нуль, а мгновенная винтовая ось становится мгновенной осью вращения. В каждый момент мгновенная ось вращения проходит через неподвижную точку, а аксоиды представляют собой конические поверхности (рис. 51).

Пример 16. По неподвижному круговому конусу с углом при вершине 2 а катится без скольжения другой круговой конус с углом при вершине

так, что ось симметрии последнего вращается вокруг оси симметрии неподвижного конуса с угловой скоростью «1. Определить абсолютную угловую скорость вращения подвижного конуса и аксоиды (рис. 52).

Рис. 51

Рис. 52

Решение. Подвижный конус катится по неподвижному без проскальзывания, поэтому точки подвижного конуса, расположенные на общей образующей, имеют нулевые скорости. Следовательно, мгновенная ось вращения проходит по общей образующей двух конусов. Мгновенная ось вращения перемещается как по поверхности неподвижного, так и по поверхности подвижного коиуса, и аксоидами являются поверхности конусов. Движение подвижного конуса можно представить как сложное, состоящее из вращения подвижной системы вокруг оси симметрии неподвижного конуса с переносной угловой скоростью и относительного вращения подвижного конуса вокруг своей оси симметрии в подвижной системе координат.

Зная направления абсолютной и относительной угловых скоростей подвижного конуса и величину и направление переносной угловой скорости подвижной системы, легко определить величину и направление абсолютной угловой скорости вращения конуса. Из треугольника скоростей (рис. 53) имеем

откуда

Рис. 53

Пример 17. Горизонтальные колеса I и II дифференциального механизма вращаются вокруг одной и той же вертикальной оси АВ со скоростями

Определить мгновенную угловую скорость планетарного колеса III, ось которого может свободно вращаться вокруг оси АВ (рис. 54).

Решение. Абсолютное мгновенное движение колеса III можно представить как результат сложения переносного движения вместе с колесом I и относительного движения колеса III по отношению к колесу I.

Рис. 54

Рис. 55

Тогда переносная угловая скорость колеса III будет представляться скользящим вектором (рис. 55). В относительном движении мгновенная ось вращения Д] колеса III проходит через точку соприкосновения колес III и I и через точку О пересечения осей колес III и I. Начало скользящего вектора перенесем в точку О. Тогда конец вектора абсолютной угловой скорости колеса III будет лежать на прямой параллельной и проходящей через конец вектора

Представляя теперь движение колеса III как результат сложения переносного движения (вместе с колесом II) и относительного движения колеса III по отношению к колесу II, аналогичным образом получим, что конец вектора абсолютной угловой скорости колеса III лежит на прямой параллельной проходящей через коиец вектора Тогда величина вектора абсолютной угловой скорости колеса III определится геометрически из чертежа

где соответственно радиусы колес I и III.