Сравнение принципа Якоби с принципом Гамильтона.

Принцип наименьшего действия в форме Якоби не является непосредственным следствием принципа Гамильтона, так как экстремали в обоих принципах определяются при совершенно различных предположениях. Тем не менее, принцип Якоби может быть получен из принципа Гамильтона, если наложить определенные ограничения на рассматриваемую систему.

Рассмотрим механическую систему, на которую наложены голономные идеальные связи, не зависящие явно от времени. Движение такой системы происходит в соответствии с законом живых сил

Пусть в момент система находится в положении А, а в момент — в положении В. Тогда, в соответствии с принципом Гамильтона, на действительной траектории интеграл принимает стационарное значение среди всех допускаемых связями траекторий, соединяющих точки А и В за то же время. Переходя к новой независимой переменной преобразуем этот интеграл к виду

где . Преобразование обобщенных скоростей дает

Введем функцию

рассматривая ее как функцию Лагранжа для задачи о движении системы с степенями свободы, положение которой определяется параметрами Так как связи, наложенные на первоначальную систему, не зависят явно от времени, то и функция не зависит явно от а следовательно, является циклической координатой для Применяя метод Рауса игнорирования циклических координат к переменной рассмотрим циклический интеграл

который можно представить в виде

Этот интеграл равносилен интегралу живых сил исходной механической системы

Рассматривая функцию Рауса

сведем задачу к системе с степенями свободы, где роль функции Лагранжа уже играет функция Рауса откуда переменная исключена при помощи циклического интеграла Величина должна оставаться одной и той же для всех сравниваемых траекторий, что накладывает ограничения на переменную т. Задача сводится к отысканию движения в пространстве переменных, где роль времени играет а роль функции Лагранжа — функция не зависящая явно от т. Параметр следует выбирать так, чтобы движение по всем траекториям происходило с одной и той же энергией начиная с момента то и заканчиваясь в момент Записывая для такого движения принцип Гамильтона, будем иметь

что можно записать в виде

где

Тогда

Живая сила рассматриваемой системы определяется формулой

а интеграл живых сил

откуда

Но тогда из принципа Гамильтона имеем

а принципу Якоби можно придать следующую трактовку.

Если система вынуждена двигаться, сохраняя постоянную энергию то ее действительная траектория представляет собой экстремаль интеграла

среди всех траекторий, определенных двумя крайними положениями системы, соответствующими значениям параметра .