2. Теорема Лагранжа о равновесии системы.

Принцип возможных перемещений, предложенный Лагранжем, дает необходимые и достаточные условия равновесия системы материальных точек, стесненной идеальными связями, не зависящими явно от времени. Принцип этот заключается в том, что при равновесии системы материальных точек сумма работ всех сил, действующих на систему, на любом возможном перемещении неположительна и всегда равна нулю на всех неосвобождающих перемещениях системы. Впервые без доказательства принцип был сформулирован И. Бернулли в письме к Вариньону, который и поместил его в своей «Nouvelle Mecanique». Первое наглядное и достаточно общее доказательство, основанное на применении блоков, было предложено Лагранжем. Лагранж представил приложенные к системе силы в виде натяжений нитей, перекинутых через блоки и снабженных грузами. Приведем здесь другое аналитическое доказательство теоремы Лагранжа.

Лагранж рассматривал теорему только для случая двусторонних идеальных связей. Распространением теоремы на случай односторонних идеальных связей впервые занимался французский математик Ж. Фурье в связи с задачей о равновесии нити. В 1834 г. М. Г. Остроградским (1801—1861) была предложена полная формулировка с доказательством обобщенной теоремы Лагранжа для случая односторонних связей.

Теорема Лагранжа. Для того чтобы система материальных точек, на которую наложены односторонние идеальные связи, не зависящие явно от времени, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении сумма работ всех активных сил, действующих на систему, на любом возможном перемещении системы была бы неположительной, т. е. удовлетворяла бы условию

где знак неравенства отвечает освобождающим перемещениям, а знак равенства — неосвобождающим.

Доказательство. Необходимость. Пусть система материальных точек, на которую наложены освобождающие идеальные связи, находится в равновесии под действием активных сил с проекциями на неподвижные оси координат

Тогда для каждой точки системы будут выполняться условия

где — проекции сил реакций, действующих на -тую точку системы. Определяя отсюда величины и подставляя их значения в условие идеальности связей

получим условие равновесия

или

чем и доказывается необходимость.

Достаточность. Будем исходить от противного. Предположим, что при выполнении условия (а) система не находится в состоянии равновесия, т. е. в данном положении системы имеются неуравновешенные точки. Тогда, находясь первоначально в состоянии покоя, неуравновешенная система начнет движение из этого состояния, подчиняясь наложенным на нее связям. Освободим теперь систему от связей, заменив действие последних действием сил реакций Подсчитаем работу всех сил на том перемещении, которое получает система, начиная движение из состояния покоя (в дальнейшем это перемещение будем называть действительным). Так как каждая точка системы начинает перемещаться из состояния покоя в направлении действия равнодействующей силы действительные перемещения точек будут пропорциональны этим равнодействующим силам

где - некоторые положительные числа. Действительное перемещение подчиняется наложенным на систему связям, т. е. является одним из возможных перемещений системы. Вычисляя работу всех сил, действующих на точки системы, на действительном перемещении будем иметь

Заметим, что работа реакций связи на действительном перемещении системы всегда равна нулю, т. е.

В самом деле, если действительное перемещение не является освобождающим, то, по определению, сумма работ реакций связи на этом перемещении равна нулю. Если же перемещение освобождающее, т. е. хотя бы одна точка системы под действием силы покидает связь, то в рассматриваемом положении точка уже не оказывает действия на связь, и соответствующая сила реакции становится равной нулю. Тогда и работа этой силы реакции будет равна нулю на действительном перемещении. Итак, сумма работ реакций связи всегда равна нулю на действительном перемещении системы. Тогда из сразу получаем

Предполагая, что при выполнении условия (а) система не находится в положении равновесия, мы обнаружили перемещение, на котором не выполняется условие что противоречиво и, следовательно, система в действительности находится в равновесии.

Замечания. 1. В том случае, когда на систему материальных точек наложены только двусторонние связи, теорема Лагранжа получает более простую формулировку.

Теорема. Для того чтобы рассматриваемое положение системы было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении сумма работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю.

Доказательство этого предложения проводится так же, как и в общем случае. Условие же равновесия системы при двусторонних связях получает вид

Это уравнение называется общим уравнением статики.

2. Уравнения равновесия системы

могут быть непосредственно получены из принципа Бернулли. В самом деле, рассматривая систему материальных точек на которую наложены идеальные связи и которая находится под действием активных сил заменим наложенные на систему связи силами реакций После такой замены каждая точка системы должна рассматриваться как свободная от связей и находящаяся только под действием активных сил и сил Возможные перемещения такой освобожденной системы уже не стеснены никакими условиями и поэтому все являются произвольными и независимыми.

Принцип Бернулли для этой системы представляется в виде равенства

откуда в силу независимости величин следуют уравнения

3. Принцип возможных перемещений дает возможность определять положения равновесия системы материальных точек, не определяя реакции связей.

Рис. 124

4. Если существует силовая функция для сил, действующих на систему материальных точек, то принцип Бернулли получает особенно простой вид. В этом случае имеем

а потому условие равновесия преобразуется к виду

или

Это условие говорит о том, что в положении равновесия силовая функция имеет стационарное значение для всех неосвобождающих перемещений системы.

Пример 44. Полиспаст (механизм, состоящий из двух блоков, каждый из которых смонтирован в общей обойме, причем блоки насажены на общую ось или на отдельные оси), как показано на рис. 124, оснащен нитью, один конец которой прикреплен к неподвижной точке, а другой остается свободным. Нить обходит последовательно все блоки, насаженные как на подвижные, так и на неподвижные оси. К нижнему блоку подвешен груз весом а к свободному концу иити приложена сила F, которая должна уравновесить груз Определить соотношение величин силы F и веса Q при равновесии системы.

Решение. Предположим, что размеры блоков подобраны так, что все части нити, заключенные между обеими системами блоков, можно рассматривать как параллельные. Тогда при перемещении точки приложения силы F на расстояние груз поднимется на величину Общая длина иити остается неизменной, так что

как это видно из чертежа. Из принципа Бернулли для двусторонних связей имеем

или после подстановки значений

откуда сразу получаем условие равновесия

Пример 45. Два однородных стержня соответственно длиной и весом Р каждый могут свободно вращаться в одной вертикальной плоскости: первый вокруг своей середины второй вокруг шариира О, расположенного на одной вертикали с на расстоянии а от точки (рис. 125). К концу D стержня прикреплен груз Определить угол в положении равновесия системы.

Рис. 125

Рис. 126

Решение. Активные силы имеют проекции только на вертикальную ось у, поэтому из принципа Бериулли будем иметь

где знак неравенства имеет место только для освобождающих перемещений. Рассматривая сначала только неосвобождающие перемещения, координаты представим в функции угла т. е.

откуда

После подстановки найденных вариаций координат будем иметь

Откуда получаем значения угла в положении равновесия:

Первая система значений представляет особое решение и не допускается наложенными на систему связями. Второе решение имеет смысл тогда, когда

Переходя к анализу освобождающих перемещений, которые могут появиться только при потере контакта между стержнями, заметим, что здесь сумма работ всех активных сил всегда будет отрицательна, так как освобождение сопровождается либо поднятием груза либо поворотом вверх стержня Таким образом, рассмотренное положение является положением равновесия

Пример 46. Однородный гладкий стержень АВ длиной 21 и весом Р опирается одним концом на гладкую вертикальную стенку и, кроме того, опирается в точке С на край неподвижного стола (рис. 126). Определить угол который образует стержень со столом в положении равновесия, если расстояние от стенки до стола равно а.

Решение. Если центр тяжести находится слева от точки С, равновесия быть не может, так как при освобождении точки А работа силы тяжести станет положительной. Для определения положения равновесия, когда точка находится справа от точки С, из принципа Бернуллн, рассматривая неосвобождающие перемещения, имеем

Подставляя сюда значение

будем иметь

отсюда, приравнивая нулю выражение, стоящее в скобках, получаем условие равновесия

которое возможно лишь при условии .

Пример 47. В полый цилиндр радиуса который может кататься без скольжения по горизонтальной плоскости, вложен массивный цилиндр весом Р с радиусом (рис, 127). К малому цилиндру в плоскости чертежа приложена пара сил с моментом М. На полый цилиндр намотана нить, несущая на свободном конце груз Полагая поверхности цилиндров достаточно шероховатыми, найти положение равновесия системы и определить, при какой зависимости между данными силами оно возможно.

Решение Положение системы полностью определяется двумя координатами х и О, которые могут изменяться независимо одна от другой. Поэтому любое возможное перемещение системы будет определяться изменением этих двух независимых координат. Сообщим сначала большому цилиндру такое возможное перемещение, при котором не изменяется угол О (малый цилиндр при этом вращается вокруг своей оси, перемещаясь в горизонтальном направлении). На этом перемещении сила Р не совершает работы. Обозначим через х горизонтальную координату центра большого цилиндра и подсчитаем работу силы Q и пары М на рассматриваемом перемещении. Сила Q

будет совершать отличную от нуля работу лишь при перемещении груза в вертикальном направлении. Если центр большого цилиндра переместится на величину , то сам цилиндр повернется вокруг своей оси на угол чертеже не указан). При этом провисающая часть нити сократится на величину а сила Q совершит работу Точка В большого цилиндра (точка касания) повернется от вращения вокруг его оси С на величину

Рис. 127

На такую же величину повернется и точка В малого цилиндра, вращающегося вокруг своей оси сам же цилиндр повернется на угол (на чертеже не указан). Как нетрудно видеть, пара сил, действующих на малый цилиндр, совершит положительную работу (работа пары сил на поступательном перемещении сплошного цилиндра всегда равна нулю).

Приравнивая нулю работу всех сил, действующих на систему, получим

откуда следует условие равновесия

Сообщим теперь системе такое возможное перемещение, при котором координата х остается постоянной, а изменяется только угол Заметим, что при таком перемещении сила Q не будет совершать работы (отсутствует перемещение точки приложения силы). Работа силы Р на рассматриваемом перемещении будет равна

При вычислении работы пары сил заметим, что малый цилиндр при таком перемещении будет катиться без скольжения по поверхности большого, вращаясь вокруг своей оси. Мгновенное перемещение малого цилиндра можно представить как сумму мгновенно-поступательного перемещения вместе с осью и мгновенного вращения вокруг этой оси. На поступательном перемещении пара сил работы не совершает. Обозначая угол поворота малого цилиндра относительно неподвижных осей через получим для этого угла выражение

а работа пары сил будет равна

Из принципа Бернулли теперь получим

откуда

Действительное значение для угла существует лишь при условии

Мы рассмотрели все возможные перемещения системы и получили все возможные положения равновесия.