4. Теорема Лиувилля.

Теорема (1838 г.). Произвольно выделенный в момент объем а фазового пространства, ограниченный контрольной поверхностью Е, не изменяется при движении

системы, в то время как сама контрольная поверхность деформируется и перемещается.

Доказательство. Рассмотрим элементарный объем фазового пространства Тогда интеграл взятый по области фазового пространства, ограниченной контрольной поверхностью 2, будет равен ее объему. Покажем инвариантность объема по отношению к каноническому преобразованию переменных к новым переменным После преобразования объем, ограниченный поверхностью , перейдет в новый объем ограниченный той же поверхностью. Преобразуя этот интеграл к старым переменным, имеем

где

якобиан преобразизания. Неизменяемость объема будет, очевидно, обеспечена, если этот якобиан равен единице. Но

откуда

Переменные связаны каноническим преобразованием:

Поэтому

Откуда

и, следовательно, объем, ограниченный поверхностью остается неизменным при перемещении в фазовом пространстве.