Вывод уравнений Лагранжа второго рода из принципа Якоби.

Так как предполагается, что движение по всем траекториям сравнения происходит с одним и тем же запасом энергии то

необходимо ввести такой параметр, чтобы начальным и конечным точкам траекторий соответствовали одинаковые значения этого параметра. С этой целью рассмотрим семейство поверхностей

каждая из которых пересекает все траектории сравнения и на каждой из которых остается неизменной новая независимая переменная X. Пусть через точки проходят поверхности (рис. 256). Рассматривая последовательность поверхностей вдоль траекторий, на каждой траектории определим зависимость лагранжевых координат от параметра X:

так, чтобы для всех траекторий начальное и конечное значения параметра К были одинаковыми.

За возможное перемещение системы примем перемещение с одной траектории на другую по поверхности Тогда на концах интервала движения при и будем иметь

Внутри же интервала движения вариации координат будут принимать произвольные значения. Вариационный принцип Якоби получает теперь вид вариационной задачи с неподвижными концами

по аналогии с принципом Гамильтона. Роль функции Лагранжа здесь играет функция

из которой уже исключено время, а выражение по своей структуре напоминает удвоенную живую силу системы. В самом деле,

Если ввести обозначения

то

а уравнения Эйлера для вариационной задачи примут вид

или, после вычисления частных производных,

Параметр X не является временем движения по различным траекториям системы, поэтому для , вообще говоря, не существует зависимости вида

на всех траекториях, и вообще выполняется неравенство

поэтому до вычисления частных производных нельзя производить сокращений.

После того как частное дифференцирование выполнено, последовательности моментов времени на действительной траектории сопоставим однозначно последовательность значений X так, чтобы всюду выполнялось условие

где — время движения системы по действительной траектории. На действительной траектории теперь будем иметь условие

а для Т справедлив закон сохранения энергии

поэтому на действительной траектории выполняется равенство

а уравнения Эйлера, определяющие экстремаль, перейдут в уравнения Лагранжа второго рода

т. е. в самые общие уравнения, описывающие движение механической системы с голономными идеальными связями.