§ 4. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

1. Исторические замечания.

Уравнения движения механических систем можно получать исходя из весьма различных положений, которые могут рассматриваться, как основные принципы механики. Эти принципы должны полностью характеризовать движение системы материальных точек и быть эквивалентными всей системе дифференциальных уравнений движения. Все законы механики системы материальных точек, на которую наложены идеальные связи, могут быть получены из принципа Даламбера — Лагранжа (общего уравнения динамики). Тем не менее представляет интерес преобразовать общее уравнение динамики так, чтобы получить новую форму, эквивалентную этому уравнению, но отличную от него по структуре. Новые формы либо допускают некоторые обобщения, выходящие за рамки чисто механических задач, либо дают возможность получить новые формы дифференциальных уравнений движения. С теоретической точки зрения новые формы в некоторых случаях позволяют обнаруживать некоторые общие свойства системы, которые не всегда очевидны в первоначальной формулировке принципа. Полученный новый принцип может быть принят за основной закон, и из него можно вывести все свойства движения, если только он правильно отображает природу.

Первые основные принципы механики связаны с именами Галилея, Ньютона, Лагранжа. В основу механики эти ученые положили понятие пространства, времени, силы и массы. Так, принцип Галилея — Ньютона определяет силу как причину, вызывающую движение материального тела. Законы Ньютона создают основу дальнейшего развития механики. С их помощью можно проанализировать любые механические движения.

Даламбер, Эйлер, Лагранж создали принцип, основанный на сравнении движений. Этот принцип изучает мгновенное состояние движения и возможные отклонения от этого состояния, допускаемые связями в данный момент времени (возможные перемещения). Для механических систем с голономными идеальными связями из этого принципа непосредственно следуют уравнения движения системы материальных точек — уравнения Лагранжа второго рода.

Гамильтоном был предложен другой принцип, сравнивающий движения за конечный промежуток времени. Сравниваемые движения происходят за один и тот же промежуток времени в соответствии с наложенными на систему связями. Принцип содержит в себе всю механику систем с голономными идеальными связями.

Из аналитического выражения принципа видно, что он содержит в себе такие физические понятия, которые не связаны с определенной лагранжевой системой переменных Достоинство его заключается еще и в том, что он легко распространяется на немеханические системы. Последнее обстоятельство дает возможность переносить результаты и методы исследования из механики в различные области физики и наоборот.

Свойства механических движений могут быть выведены из других принципов. Из многих принципов, предлагавшихся до настоящего времени, представляет интерес принцип наименьшего действия в форме Якоби.

Принципы не всегда вносят новое физическое содержание в механику или упрощают практическое решение механических задач. Тем не менее они в ряде случаев более удобны для общего анализа движения механических систем. Так, интегральные принципы Гамильтона и Якоби позволили построить такой метод интегрирования уравнений динамики, благодаря которому было решено много задач, представлявшихся до того неразрешимыми.

Впервые вариационный принцип для физической проблемы был отчетливо сформулирован в геометрической оптике в XVII в. французским математиком Пьером Ферма (1601—1665), автором знаменитой теоремы о том, что уравнение где — целое число, больше двух, не имеет решения в целых положительных числах. Принцип Ферма является обобщением известного принципа Герона об отражении света и основан на положении, что природа действует наиболее легкими и доступными путями. Этот принцип заключается в том, что действительный путь распространения света есть тот, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с другими путями между теми же точками. Математическое выражение принципа следует из определения скорости откуда, обозначая через начальную и конечную точки, будем иметь

Условие минимума времени дает математическую трактовку принципа

Президент Берлинской академии наук, французский математик Мопертюи (1698—1759) сформулировал принцип, который назвал «общим законом природы». Согласно принципу Мопертюи, всякое изменение в природе происходит таким образом, что

количество действия, необходимое на это изменение, является наименьшим. Природа как бы «экономит» свое действие. Под количеством действия Мопертюи понимал произведение массы точки на ее скорость и пройденный путь, т. е.

Заслуга аналитического оформления этого принципа принадлежит швейцарскому математику и механику Леонарду Эйлеру, долгое время работавшему в Петербурге и в Берлине. Он определил действие в виде интеграла

взятого по дуге траектории, соединяющего начальную и конечную точки. По Эйлеру, этот интеграл имеет наименьшее значение для любого отрезка истинной траектории по сравнению со смежными кривыми, имеющими те же концы.

Лагранж распространил принцип Эйлера на систему материальных точек. Полное математическое обоснование этого принципа принадлежит К. Якоби.

Принцип наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа менее общий, чем принцип Гамильтона. Он применим только к системам, у которых связи не зависят явно от времени, а силы обладают силовой функцией, не зависящей явно от времени.