2. Влияние новых связей на малые колебания системы около положения равновесия.

Если на механическую систему, совершающую малые колебания около положения равновесия, наложить новые связи, совместимые с рассматриваемым положением равновесия, то после наложения связей система будет совершать колебания уже по другому закону. В самом деле, пусть положение механической системы определяется независимыми нормальными координатами, так что

Тогда уравнения малых колебаний около положения равновесия получат вид

Пусть на систему накладывается новая связь, которую в первом приближении можно представить в виде равенства

или после дифференцирования

где все величины предполагаются постоянными. Нормальные координаты являются координатами Лагранжа, для которых принцип Даламбера — Лагранжа может быть записан в виде

или, ограничиваясь членами первого порядка малости,

Но при наложении новой связи величины уже не будут независимыми и при получении уравнений движения нужно учитывать это обстоятельство. Если воспользоваться методом множителей Лагранжа, то получим уравнение

откуда будем иметь

Эти уравнения вместе с уравнением связи

определяют движение системы после наложения связи.

Для тех из нормальных координат, для которых постоянные А, оказываются равными нулю, дифференциальные уравнения будут сохранять свой первоначальный вид, и новая связь не будет оказывать влияния на изменение этих нормальных координат по крайней мере в первом приближении. Те нормальные координаты, которым соответствуют отличные от нуля постоянные будут изменяться по другому закону. В дальнейшем такие переменные будем называть переменными, стесненными связями.

Пусть стесненными связями оказываются первые координат и пусть

Для переменных, стесненных связями, уравнения движения получают вид (1) и (2). Переменные, стесненные связями, изменяются с новой частотой, отличной от Положим

где и М — некоторые постоянные величины. Подстановка в уравнения дает условия для определения этих постоянных:

т. е. для определения постоянных получаем систему линейных однородных уравнений. Для существования нетривиального решения этих уравнений должен быть равен нулю определитель

или

Нетрудно видеть, что

откуда следует, что определитель будет иметь действительных корней, разделяющих числа . В результате приходим к теореме.

Теорема. При наложении на консервативную систему новой связи частоты новой системы будут разделять частоты свободной системы. В случае кратных частот частоты новой системы будут совпадать с частотами старой.

В частном случае, когда только одна постоянная отлична от нуля, а все остальные равны нулю, уравнение связи можно представить в виде

Тогда получаем вырожденный случай. Для К будут возможны все значения кроме Значение как бы выпадает при этом.

Если начальное положение равновесия было устойчивым, то все После наложения связей на такую систему все X окажутся положительными, и, следовательно, устойчивость положения равновесия сохраняется.

Если равновесие было неустойчивым и число неположительных было больше двух, то неустойчивость сохраняется и при наложении новой связи.

Если же число неположительных равно единице, то наложением соответствующей связи равновесие системы можно упрочнить.