2. Вывод канонических уравнений Гамильтона из принципа Гамильтона — Остроградского.

Из принципа Гамильтона—Остроградского можно получить и другую форму дифференциальных уравнений движения голономной механической системы — канонические уравнения Гамильтона. Будем предполагать, что на рассматриваемую систему наложены идеальные голономные связи, а действующие на точки системы активные силы обладают силовой функцией Принцип Гамильтона для такой системы запишется в виде равенства

Перепишем это равенство в виде

или, вводя функцию Гамильтона Н,

Выполняя операцию варьирования интеграла, в предположении, что интервал времени не варьируется, получим

Интегрируя первую сумму по частям

и принимая во внимание, что вариации координат на концах интервала равны нулю, будем иметь

Тогда математическое выражение принципа Гамильтона приобретает новую форму

Здесь коэффициенты при вариациях обращаются в нуль, в силу преобразований Лежандра, поэтому

Последнее равенство в силу произвольности множителей имеет место в том случае, когда все коэффициенты при обращаются в нуль одновременно, т. е.

Таким образом, на действительной траектории системы канонические переменные должны удовлетворять уравнениям

где первая группа уравнений следует непосредственно из преобразований Лежандра. Полученные уравнения являются каноническими уравнениями Гамильтона, выведенными выше при помощи преобразований Лежандра—Гамильтона.