§ 1. УЧЕНИЕ О СВЯЗЯХ

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек с массами , координаты и скорости которых связаны между собой некоторыми соотношениями, называемыми связями. Связи эти можно выразить аналитически в виде уравнений

Они накладывают ограничения на координаты и скорости точек системы.

Из всех связей выделим наиболее простой тип — линейные связи, которые задаются уравнениями

линейными относительно с коэффициентами зависящими от времени и координат.

Возможные перемещения системы определим как перемещения, удовлетворяющие условиям

В общем случае будем иметь некоторое множество возможных перемещений. Действительным перемещением назовем такое перемещение, которое совершают во времени точки системы при заданных связях под действием активных сил. Действительное перемещение удовлетворяет уравнениям связи. Вообще действительные и возможные перемещения удовлетворяют различным условиям, и действительное перемещение не принадлежит к классу возможных перемещений системы. Если же все 0, то уравнения для возможных перемещений будут совпадать с уравнениями для действительных перемещений, т. е. действительное перемещение будет находиться среди возможных.

Условия для возможных перемещений получим из уравнений для действительных перемещений, положив в последних

т. е. рассматривая в данный момент времени как некоторый параметр, не изменяющийся при возможных перемещениях системы. Таким образом, для определения возможных перемещений системы достаточно рассмотреть все перемещения, которые допускаются связями при «застывшем» времени («застывшие» связи). Так, например, если на материальную точку наложена связь

то возможные перемещения будут удовлетворять условию

и, следовательно, действительные перемещения не находятся среди возможных.

Пример 80. Рассмотрим действительные и возможные перемещения системы, состоящей из ползунка О, движущегося по прямолинейному рельсу по заданному закону и точки соединенной стержнем с шарниром на ползунке, так что стержень может свободно вращаться вокруг шарнира в плоскости чертежа (рис. 182).

Рис. 182

При застывших связях точка О неподвижна, ибо ее движение заранее определено по времени, а время не меняется при рассмотрении возможных перемещений. Возможными перемещениями точки будут перемещения по окружности с центром в точке О. Аналитически связи здесь можно представить уравнением

или, в дифференциальной форме

Для возможных перемещений получим условие

Если ввести параметр и выразить через пего координаты х и у, то, как легко заметить, связи не будут накладывать ограничений на Такой параметр называют свободным параметром, определяющим положение системы.

Определение возможного перемещения, как перемещения из одного состояния системы в другое, сколь угодно близкое к первому, которое приводилось в аналитической статике, не всегда

справедливо в динамике. В динамике рассматриваются и такие связи, при которых возможные перемещения не могут перевести систему в бесконечно близкое положение, удовлетворяющее условиям связи.

Дифференциальные уравнения связей представляют собой уравнения типа Пфаффа. Если такую систему уравнений связей можно путем различных преобразований привести к виду

то уравнения связей называют интегрируемыми, а связи голономными. Если систему уравнений связи нельзя привести к указанному виду, то уравнения связей называют неинтегрируемыми, а связи неголономными.

Пример 81. Исследовать связь вида

наложенную на материальную точку.

Если то уравнение связи интегрируемо, а связь — голономна. Если же то уравнение нельзя вообще привести к виду до тех пор, пока не будет найдена зависимость z от х и у. В этом случае связь будет неголоиомной.

Если связи интегрируемы, то уравнения связей приводятся

и тогда говорят, что связи заданы в конечном виде. Действительные перемещения при этом удовлетворяют соотношениям

а возможные перемещения соотношениям

Если связи, наложенные на систему материальных точек, голономны, то уравнения связей в каждый фиксированный момент времени определяют некоторые гиперповерхности. Возможные перемещения в этом случае можно трактовать как переход из одного положения на этих гиперповерхностях в бесконечно близкое положение. Для неголономных связей вообще такого толкования уже дать нельзя, о чем подробнее будет сказано ниже.