§ 4. ТЕОРЕМЫ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ НЕИЗМЕННОГО НАПРАВЛЕНИЯ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ (ОСЕЙ КЕНИГА)

С. Кёнигом (1712—1757) были предложены теоремы, упрощающие задачу вычисления живой силы и момента количества движения системы материальных точек.

1. Теоремы Кёнига.

Рассмотрим систему материальных точек с массами на которые действуют силы с проекциями на неподвижные оси координат Положение точек системы относительно неподвижной системы осей будем определять координатами (рис. 197). Координаты центра масс такой системы определим равенствами

В центре масс построим систему осей параллельных неподвижным осям Эти оси, перемещающиеся поступательно относительно системы называют осями Кёнига. Координаты точек системы в новых и старых осях связаны между собой известными соотношениями:

Зависимость живой силы и момента количества движения, вычисленных в новых и старых осях, устанавливается теоремами Кёнига.

Теорема 1. Момент количества движения системы относительно неподвижной оси z равен сумме момента относительного количества движения системы относительно оси Кёнига z и момента количества движения материальной точки, масса которой равна массе всей системы и которая в каждый момент времени совпадает с центром масс, относительно неподвижной оси

Рис. 197

Доказательство. Момент количества движения системы относительно оси z имеет вид

Преобразуем к новым переменным

Принимая во внимание соотношения

и аналогичные отношения для других координат, получим

Выражение представляет собой момент количества движения системы относительно оси z в ее движении по отношению к осям Кёнига. Обозначая эту сумму через получим

что и доказывает теорему.

Теорема 2. Живая сила системы материальных точек в ее абсолютном движении равна сумме живой силы системы в ее движении по отношению к осям Кёнига и живой силы материальной точки, масса которой равна массе всей системы и которая в каждый момент времени совпадает с центром масс системы.

Доказательство. По определению, живая сила системы равна

После замены переменных это выражение принимает вид

Заметим, что обращается в нуль, так как

и тогда для живой силы в абсолютном движении будем иметь

Здесь первый член правой части представляет живую силу точки, масса которой равна массе всей системы и которая движется со скоростью центра масс системы. Второй член представляет живую силу системы в ее движении относительно осей Кёнига. Этим доказывается вторая теорема Кёнига.