§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА

1. Действие по Гамильтону и его свойства.

Можно по-разному подходить к задаче интегрирования канонических уравнений Гамильтона. В частности, ее можно связать со свойствами некоторого интеграла, взятого вдоль интегральной кривой.

Введем в рассмотрение -мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины Каждому состоянию системы в этом пространстве соответствует одна-единственная точка. Движению системы отвечает «траектория» в расширенном пространстве. Пусть в некоторый момент времени положение точки определяется координатами Тогда траектория точки будет определяться равенствами

Эту траекторию в дальнейшем будем называть действительной траекторией системы. Вдоль этой действительной траектории рассмотрим интеграл

который будем называть действием по Гамильтону. Очевидно, что действие по Гамильтону является функцией начальных значений координат, импульсов и времени

На действительной траектории координаты и импульсы являются функциями времени и начальных значений координат и импульсов:

Полагая, что в каждой точке фазового пространства определитель, составленный из частных производных

отличен от нуля, можно определить начальные значения импульсов и представить действие в виде функции времени, координат и их начальных значений, т. е.

Представляя подынтегральное выражение через переменные Гамильтона, получим

Рассмотрим вариацию действия при переходе с одной действительной траектории на другую (получающуюся изменением начальных условий)

Так как

то для вариации действия получим

Здесь последний интеграл на действительной траектории обращается в нуль в силу уравнений Гамильтона, поэтому будем иметь

Последнее соотношение можно рассматривать как самостоятельный принцип механики, если за функцию V принять определенное выше действие по Гамильтону. Если моменты времени бесконечно близки, так что можно принять то

Применяя теорему о среднем, получим для вариации действия выражение

или

С другой стороны

Пренебрегая членами выше первого порядка малости, отсюда получим

Сравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, получим уравнения движения механической системы, совпадающие с уравнениями Лагранжа второго рода, что и доказывает утверждение. В самом деле,

откуда после подстановки значений в первую группу уравнений получим

Функция V зависит от переменных Варьирование этой функции дает

Сравнивая результаты варьирования, получим

Вторая группа этих уравнений приводит к зависимости

Если отличен от нуля определитель матрицы из вторых производных

отсюда можно будет определить координаты, как функции времени, т. е. найти закон движения системы. Трудность заключается в определении самого действия V, поскольку интеграл должен рассматриваться вдоль действительной траектории, которая нам неизвестна до интегрирования уравнений движения. Задача сводится к определению функции V. Рассматривая производную от функции V вдоль действительной траектории, будем иметь

С другой стороны

так что

Подставляя значение имеем

т. е. функция действия V удовлетворяет уравнению в частных производных, которое называется уравнением Гамильтона — Якоби. Функция эта зависит от переменных и от произвольных начальных условий Такая функция, удовлетворяющая уравнению в частных производных и условию, что определитель матрицы из вторых производных

отличен от нуля, является полным интегралом уравнения в частных производных. Для определения движения механической системы достаточно найти полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби, после чего задача определения действительного движения сводится к уравнениям