2. Принцип Лагранжа.

Пусть имеется механическая система материальных точек, на которые наложены голономные идеальные связи, не зависящие явно от времени, а силы обладают силовой функцией Для такой системы существует интеграл живых сил

где постоянная имеет значение полной механической энергии системы, не изменяющейся во все время движения. Будем рассматривать лишь такие движения, переводящие систему из положения в положение которые совершаются с одним и тем же запасом механической энергии

Принцип Лагранжа утверждает, что интеграл

имеет минимальное значение на действительной траектории, если все рассматриваемые движения обладают одним и тем же запасом энергии.

Преобразуем подынтегральное выражение, разделив и умножив его на

Тогда принцип Лагранжа запишется в виде

т. е. интеграл от кинетической энергии системы на действительной траектории принимает экстремальное значение, если сравниваемые траектории обладают одной и той же полной механической энергией. При этих условиях движение по действительной и сравниваемой траекториям происходит вообще за разное время. Время достижения точки оказывается различным.

Если через обозначить момент начала движения системы из положения а через момент прохождения через положение то математическая формулировка принципа может быть представлена уравнением

при условии, что все сравниваемые движения происходят с одинаковым запасом энергии

Задача определения действительного движения системы сводится теперь к отысканию условного экстремума интеграла с подвижным верхним пределом. Вариации координат и скоростей уже не являются независимыми и связаны условием

В таком виде впервые задачу рассмотрел в 1815 г. испанский математик Оленд Родригес (1794—1851), применивший метод неопределенных множителей Лагранжа (независимо от Родригеса, позднее этой же задачей занимался английский механик Раус). Метод неопределенных множителей сводится здесь к отысканию безусловного экстремума интеграла от функции

после чего принцип можно записать в виде

или

и метод сводится к отысканию экстремума интеграла с подвижным верхним концом. Все траектории сравнения совпадают на концах интервала, проходя через точку в различные моменты времени, поэтому для вариаций координат в точках будем иметь

или, переходя к обобщенным координатам,

Рис. 255

В курсах вариационного исчисления показывается, что вариация функционала с подвижными концами имеет вид

где — момент прохождения действительной траектории через точку (рис. 255). В рассматриваемом случае все сравниваемые движения начинаются в один и тот же момент времени, поэтому Тогда формула для экстремума функционала получает вид

Действительная траектория дает экстремум функционалу среди всех допустимых траекторий, а следовательно, и среди траекторий, проходящих через точки за одно и то же время. Тогда

т. е. на действительной траектории удовлетворяются уравнения

которые называются уравнениями Эйлера, а основное условие экстремума записывается в форме

и называется условием трансверсальности. Записывая последнее условие в явном виде, будем иметь

Здесь выражение, стоящее в круглых скобках, обращается в нуль, так как для сравниваемых траекторий имеет место интеграл энергии. Кроме того, в силу независимости связей от времени живая сила является однородной квадратичной формой от обобщенных скоростей. Поэтому на основании теоремы Эйлера об однородных функциях имеем

после чего условие трансверсальности принимает вид

откуда следует , а функция Ф равна

или

После подстановки этого значения в уравнения Эйлера, получим уравнения Лагранжа второго рода

Эти уравнения подтверждают справедливость принципа наименьшего действия в форме Лагранжа.

После Лагранжа принцип наименьшего действия сначала не оказывал практического влияния на развитие науки. Его рассматривали как некоторый математический курьез, как интересный, но излишний придаток к ньютоновской механике. Пуассон назвал его «бесполезным правилом», и лишь после исследований Томсона,

Тэта, Кирхгофа и других механиков оказалось, что этот принцип является важным инструментом при решении задач динамики. В 1867 г. Томсон и Тэт показали, что принцип имеет большое значение для развития многих разделов физики. Как оказалось впоследствии, он играет существенную роль в теории относительности.