4. Определение главных осей инерции для произвольной точки.

Пусть центр масс системы находится в точке О, а главные центральные оси инерции направлены по осям Проведем прямую с направляющими косинусами а, у, проходящую через начало координат (рис. 218). Обозначая моменты инерции относительно главных центральных осей через А, В и С, найдем момент инерции относительно оси

Рис. 218

Для определения главных осей инерции в произвольной точке проведем через эту точку прямую I, параллельную прямой I, и, воспользовавшись теоремой Гюйгенса—Штейнера, вычислим момент инерции относительно прямой I

где

Тогда

Геометрическое место точек поверхности эллипсоида инерции для О удовлетворяет условию

откуда

Величина на поверхности эллипсоида инерции имеет стационарное значение для точек, расположенных на главных осях инерции. Следовательно, и величина У для главных осей будет принимать стационарное значение. Поэтому задача отыскания главных

осей инерции сводится к нахождению стационарных значений величины рассматриваемой как функции параметров при условии, что и у связаны соотношением

Метод Лагранжа приводит в этом случае к отысканию стационарного значения функции

где к — неопределенный множитель. Условия стационарности имеют вид

и задача сводится к исследованию решений системы линейных однородных алгебраических уравнений, где неизвестным пока является и множитель к. Исследование можно проводить различными способами.

Умножая первое уравнение на , второе на третье на и складывая, получим

Кроме того, разделив уравнения соответственно на , будем иметь

Умножая первое уравнение на а, второе на третье на и складывая, получим

Заметим, что величина

обращается в нуль только тогда, когда прямая I и отрезок ортогональны, а потому из равенства (а) в общем случае будем иметь

или, рассматривая левую часть как функцию X, получим уравнение

Левая часть этого уравнения представляет собой полином третьей степени относительно X, три корня которого зависят от координат точки О. Пусть тогда при имеем При полином остается отрицательным, неограниченно возрастая по модулю при При переходе X через значение полином меняет знак и при X, удовлетворяющем условию

неограниченно возрастает по модулю, когда X стремится к — А или к — В. В последнем случае становится отрицательным, т. е. на интервале полином имеет по меньшей мере один действительный корень (рис. 210). Проводя аналогичные рассуждения, заметим, что полином имеет по меньшей мере один вещественный корень на интервале . Если то при полином принимает неограниченно большое положительной значение, а при становится отрицательным, т. е. имеется хотя бы один действительный корень на интервале Подводя итог, можно сказать, что полином имеет три вещественных корня

Рис. 219

При уравнение представляет поверхность эллипсоида, при — поверхность однополостного гиперболоида, при — поверхность двухполостного гиперболоида.

Каждому корню сооответствуют три действительных числа « определяющих направление главной оси инерции. Покажем, что эти главные направления ортогональны. Пусть значению корня X соответствуют косинусы а значению корня X — косинусы . Угол между двумя направлениями определится из соотношения

Но

вследствие чего правая часть пребразуется к виду

Это означает, что экстремальные направления для различных значений взаимноортогональны. Итак, мы получили условия, определяющие направления главных осей инерции в произвольной точке.

Определив направления главных осей инерции в точке О, можно найти значения моментов инерции относительно главных осей. На основании формулы имеем

или

Если ввести обозначения

то функция примет вид

Каждому значению соответствует уравнение

определяющее поверхность второго порядка в пространстве переменных При фиксированных значениях это уравнение

имеет три действительных корня так что точка лежит на пересечении трех поверхностей второго порядка. Величины можно принять за три криволинейные координаты точки, определяемой декартовыми координатами . Всякой точке будет соответствовать своя система значений этих координат. Наоборот, придавая некоторые значения величинам можно определить положение точки. Это положение определяется неоднозначно, потому что поверхности пересекаются не в одной, а в восьми точках. Координаты называются эллиптическими.

Пересечение поверхности с плоскостью представляет кривую второго порядка

которая при обращается в эллипс, расстояние между фокусами которого

При также будем иметь эллипсы с теми же фокусами. Если удовлетворяет неравенствам

то кривые вновь будут представлять эллипсы с теми же фокусами (софокусные эллипсы). При удовлетворяющем неравенствам

кривые являются гиперболами с фокусами, расположенными на расстоянии

и совпадающими с фокусами эллипса. Кривые, фокусы которых совпадают, называются софокусными. Рассматривая различные сечения, заметим совпадение их фокусов. Поэтому поверхности - являются софокусными с эллипсоидом

называемым гирационным эллипсоидом.

Замечания. 1. Выберем в точке О систему прямоугольных координатных осей и запишем уравнение поверхности эллипсоида инерции для точки О в виде

где Величины зависят как от положения точки О, так и от направления координатных осей

Если в точке О выбрать другую систему координатных осей то уравнение поверхности эллипсоида инерции получит вид

причем величины выражаются через величины формулам

где являются коэффициентами формул преобразования

Величины образуют матрицу

или, в других обозначениях,

Совокупность величин расположенных в виде матрицы и преобразующихся в величины по формулам определяет новую величину называемую тензором инерции. Тензор представляет собой оператор, который, действуя на некоторый вектор а, дает другой вектор проекции которого являются линейными функциями проекций вектора а, причем матрицей линейного преобразования является матрица а вектор b называют линейной вектор-функцией вектора а и обозначают в виде

или в проекциях на оси координат будем иметь

2. В приложениях момент инерции твердого тела относительно оси иногда обозначают в виде произведения где М — масса тела. Число называют радиусом инерции тела.

Пример 112. Определить точки, для которых эллипсоид инерции представляет собой шар (такие точки называют шаровыми).

Поместим начало координат О в центре масс системы, а за направление осей координат выберем главные оси центрального эллипсоида инерции. Координаты искомой точки О обозначим через Если точка О шаровая, то любые прямоугольные оси, проходящие через нее, будут главными осями инерции. Проведем оси параллельные осям сооответственно. Будем иметь

Новые и старые координаты связаны формулами преобразования:

Переходя к координатам запишем условия:

Так как оси — главные центральные оси инерции, то эти равенства будут эквивалентны следующим:

Последние удовлетворяются, когда равны нулю какие-либо две из координат . Пусть для определенности

т. е. точка О лежит на оси Чтобы точка О была шаровой, необходимо, чтобы

Но

Таким образом, для определения имеем

Отсюда видно, что А должно быть равно В, т. е. центральный эллипсоид инерции должен быть эллипсоидом вращения около оси При выполнении этих условий координата точки определится равенством

Координата будет иметь действительное значение, если т. е. центральный эллипсоид инерции должен быть либо шаром, либо сжатым по оси эллипсоидом. В последнем случае шаровыми будут две точки оси симметрично расположенные относительно центра масс.