7. Скобки Пуассона.

Рассмотрим некоторые свойства первых интегралов канонических уравнений Гамильтона:

Функция называется первым интегралом канонических уравнений Гамильтона, если она сохраняет постоянное значение на всяком конкретном движении системы (постоянная меняется при переходе от одного движения системы к другому). Производная от функции взятая в силу системы канонических уравнений Гамильтона, тождественно обращается в нуль, т. е.

Очевидно, что если функции являются первыми интегралами уравнений движения, то произвольная функция от этих интегралов

также будет первым интегралом. (В дальнейшем нас будут интересовать только независимые интегралы.) Метод Пуассона дает возможность по двум первым интегралам канонических уравнений Гамильтона найти еще один первый интеграл, который может вообще оказаться некоторой функцией двух первых.

Чтобы пояснить метод, введем понятие скобок Пуассона. Пусть имеются две произвольные функции Выражение

называется скобками Пуассона.

Условие, что функция является первым интегралом канонических уравнений Гамильтона, с помощью скобок Пуассона запишется следующим образом:

Из определения скобок Пуассона вытекают следующие их свойства:

Все эти свойства очевидны, за исключением соотношения 4), называемого тождеством Пуассона. Доказать его можно непосредственным вычислением двойных скобок Пуассона. Можно также воспользоваться следующими соображениями. В скобке Пуассона операция дифференцирования выполняется дважды над функциями а вся скобка представляем собой линейную однородную функцию производных второго порядка от Таким образом, левая часть тождества Пуассона является линейной функцией вторых производных от всех трех функций Соберем вместе члены, содержащие вторые производные от функции Они войдут в выражение

Введем линейные дифференциальные операторы

Тогда

Легко видеть, что такая комбинация линейных операторов не может содержать вторых производных от Обозначая для упрощения вычислений координаты и импульсы через и представляя

будем иметь

Разность этих операторов

есть снова оператор, содержащий только первые производные. Поэтому в левой части тождества Пуассона сокращаются все члены со вторыми производными от х, то же самое относится, очевидно,

и функциям Следовательно, левая часть тождественно равна нулю.

Теорема Пуассона. Если — первые интегралы канонических уравнений Гамильтона, то скобка Пуассона также является первым интегралом канонических уравнений Гамильтона.

Доказательство. Если — первые интегралы, то для них выполняются соотношения

Из пятого свойства скобок Пуассона теперь имеем

Подставляя в правую часть значения производных и получим

или, на основании тождества Пуассона,

Последнее равенство означает, что скобка является первым интегралом канонических уравнений.

Теорема Пуассона дает правило, позволяющее из двух первых интегралов получать третий При этом не всегда получается новый интеграл. Часто оказывается, что скобка Пуассона от двух первых интегралов или является линейной функцией уже найденных интегралов, или тождественно обращается в нуль.

Замечание. Если функция Н не зависит явно от времени, то имеет место интеграл Якоби

Если, кроме того, известен еще один первый интеграл канонических уравнений Гамильтона

то скобка Пуассона тоже будет представлять первый интеграл канонических уравнений Гамильтона. Но так как Ф — первый интеграл, то

и, следовательно, на интегральной кривой будет выполняться соотношение

откуда следует, что функция будет представлять собой первый интеграл канонических уравнений Гамильтона.