5. Случай Ковалевской.

После исследований Эйлера и Лагранжа ученые долго не могли найти других интегрируемых случаев движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Лишь в 1888 г. С. В. Ковалевская в мемуаре «О проблеме вращения твердого тела около неподвижной точки» рассмотрела третий интегрируемый случай движения твердого тела около неподвижной точки. В случае Ковалевской эллипсоид инерции твердого тела, построенный для неподвижной точки, удовлетворяет условиям

Центр тяжести находится в экваториальной плоскости этого эллипсоида инерции.

Рассматривая движение твердого тела в случае С. В. Ковалевской, направим неподвижную ось вертикально вверх, а подвижные оси по главным осям эллипсоида инерции так, чтобы центр масс был расположен на положительной части оси х. Тогда для координат центра масс получим

Обозначим через косинусы углов между осью z, и осями соответственно. Тогда проекции момента силы тяжести относительно неподвижной точки О на оси х, у, z будут определяться из матрицы

так что

а уравнения Эйлера приобретают вид

Принимая во внимание соотношения между моментами инерции, представим эти уравнения в виде

Здесь три уравнения связывают пять неизвестных величин Для получения полной системы уравнений добавим сюда еще уравнения Пуассона:

которые являются линейными однородными уравнениями относительно величин . В уравнения Эйлера эти величины входят с постоянным множителем с. Сделав подстановку

которая эквивалентна замене переменных в уравнениях Эйлера величины с единицей и опуская индекс, получим

Уравнения Пуассона в новых переменных останутся без изменений.

Как уже отмечалось, в задаче о движении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой существует три первых интеграла: интеграл живых сил, интеграл площадей и тривиальный интеграл.

Эти три интеграла в случае Ковалевской имеют вид

После деления на С отсюда находим:

Для построения общего интеграла задачи достаточно найти еще один первый интеграл. С этой целью рассмотрим функцию

и производную от нее по времени в силу уравнений движения твердого тела

Обозначая выражение, стоящее в скобках, через

для производной от функции V по времени получим

Переменные и V удовлетворяют уравнениям

являющимся следствием уравнений движения твердого тела в случае Ковалевской. Очевидно, что функция

является первым интегралом системы полученных уравнений. В самом деле, рассматривая производную по времени от функции Ф, взятую в силу уравнений движения, заметим, что она имеет вид

поэтому и будет тождественно обращаться в нуль в силу уравнений движения твердого тела.

Если исключить из уравнений движения время и принять в качестве независимой переменной одну из величин то останется найти еще один первый интеграл, что всегда можно сделать с помощью интегрирующего множителя. Задача может быть доведена до конца в гиперэллиптических функциях.

В отличие от случаев Эйлера и Лагранжа случай Ковалевской до настоящего времени не нашел практического применения.