Глава VIII. ТЕОРИЯ УДАРА

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В природе нередко наблюдаются такие явления, при которых отдельные материальные точки системы внезапно изменяют свои: скорости за очень короткий промежуток времени, в то время как вся система за этот промежуток времени почти не изменяет своего положения. Такого рода явления называются ударом. Они вызываются очень большими силами, действующими на точки системы в течение короткого промежутка времени.

Рассмотрим сначала явление удара для одной материальной точки, массу которой обозначим через т. Уравнение движения точки запишем в векторном виде

Под действием больших по величине сил точка получит большое ускорение Рассматривая силы, действующие на точку как функции времени, проинтегрируем уравнение движения. Получим закон изменения количества движения точки

где — скорость точки в момент — скорость точки в момент Выражение, стоящее в правой части полученного равенства называется импульсом силы за время Если интервал времени очень мал, а действующие на точку силы конечны, то интеграл правой части будет величиной малой, порядка а изменение количества движения оказывается мало заметным за время 11—10. Так происходят все непрерывные процессы Если же

сила F оказывается достаточно большой, порядка то интеграл правой части будет величиной конечной, и за малый промежуток времени произойдет заметное изменение количества движения, т. е. произойдет явление удара.

Если через обозначить радиус-вектор точки, то будем иметь

откуда следует, что при конечном изменении скорости за время интеграл правой части является величиной малой, и им можно пренебречь при изучении малых движений точки.

Во всех случаях, когда промежуток времени можно рассматривать практически как бесконечно малый и когда сила, действующая на точку за это время, имеет порядок будем говорить, что происходит явление удара, а величину

будем называть ударом. Уравнение

позволяет измерять удар по производимому им эффекту. Его можно переписать в виде

В дальнейшем это уравнение будем называть основным уравнением теории удара для одной материальной точки

Удар материальной точки о связь.

Будем предполагать, что движение материальной точки подчиняется неудерживающей связи

находящейся в рассматриваемый момент в ненатянутом состоянии, и что в некоторый момент времени частица попадает на эту связь, так что выполняется условие

и момент определяется как наименьший положительный корень уравнения

где функции определяются законом движения точки до удара. В момент удара скорость точки не может иметь произвольного значения, а удовлетворяет условию

или

где х, у, z - проекции скорости точки на неподвижные оси координат.

Пусть скорость удовлетворяет в момент условию

тогда, если все высшие производные удовлетворяют условию

то материальная точка после удара будет двигаться по связи. Если же хотя бы одна из производных отлична от нуля, и, следовательно, отрицательна, то после удара точка вновь покидает связь.

Если в момент удара выполняется условие

то в момент удара связь окажет действие на точку. Мы будем говорить, что на точку действует ударная реакция связи изменяющая в момент скорость на которая удовлетворяет условию

При этом предполагается, что: 1) время действия силы реакции бесконечно мало; 2) за время удара материальная точка и поверхность не успевают изменить своего положения; 3) за время удара импульс всякой конечной силы равен нулю.

Сделанные предположения представляют идеализацию действительного движения. В действительности за время удара поверхности соударяемых тел деформируются и вступают в действие ударные силы. Но процесс деформации протекает очень быстро и для упрощения мы вынуждены вводить гипотезу мгновенного удара.

При сделанных предположениях будем иметь

и если считать, что за время скорость материальной точки меняется непрерывно, то будет существовать момент

в который выполняется равенство

Поэтому удар можно разделить на две стадии. Первая происходит за время -сжатие, вторая за время -отражение. Удар называют абсолютно неупругим, если вторая стадия отсутствует и . В противном случае удар называют упругим. Скорость с которой материальная точка приходит в соприкосновение со связью, называют скоростью падения материальной точки, а скорость — скоростью отражения. Угол а между отрицательным направлением скорости и нормалью к поверхности связи называют углом падения, а угол между нормалью и направлением скорости — углом отражения.

Накладываемую на материальную точку связь называют идеальной, если работа ударной реакции на любом возможном перемещении точки равна нулю. Пусть некоторый момент времени в промежутке . Тогда

где - единичный вектор нормали к поверхности в точке соударения. Отсюда следует, что приращение скорости за время удара всегда направлено коллинеарно с положительной нормалью к поверхности в точке соударения, а скорость падения и скорость отражения расположены в плоскости, нормальной к поверхности и

Как уже говорилось в механике различают упругий и неупругий удары. Неупругим называют такой удар, при котором материальная точка как бы прилипает к связи и после удара не покидает поверхности связи. При упругом ударе точки после удара освобождаются от связи. На практике чаще приходится встречаться с явлениями не вполне упругого удара, при котором происходит потеря энергии и соударяющиеся тела не полностью восстанавливают свою форму. При расчете явлений удара для таких тел приходится вводить опытные гипотезы. Одна из основных таких гипотез была введена Ньютоном, который предположил, что при соударении тел отношение величин проекций скоростей соударяющихся точек после и до удара на направление общей нормали к поверхности соударяемых тел в точке соприкосновения этих тел,

есть величина постоянная, зависящая лишь от материала соударяющихся тел.

Если через обозначить проекции скорости точки на нормаль к поверхности связи, а через проекции скорости на касательную плоскость к поверхности связи, то отношение

называют коэффициентом восстановления. Коэффициент восстановления показывает, насколько восстанавливается нормальная составляющая скорости после удара. Если то удар называют абсолютно упругим. В общем случае

При гладких связях касательная составляющая скорости точки за время удара не меняется. Но вследствие неполной гладкости будет меняться и эта составляющая. Поэтому можно ввести коэффициент X мгновенного трения, так что

Коэффициенты обычно определяются опытным путем. Иногда принимается гипотеза Кулона, т. е. делается предположение, что касательный удар связан с нормальным. Как показывает экспериментальная проверка, влияние трения на удар значительно меньше, чем влияние упругости.

Рассмотрим систему материальных точек перемещения которых стеснены голономными связями. Связи в соответствии с одной из основных аксиом механики можно заменить силами, действующими на точки системы. Под действием ударных сил будут возникать очень большие реакции. Обозначим через вектор реактивного удара, действующего на материальную точку, с проекциями подразумевая под этим предельные значения импульсов сил реакций. Тогда для каждой точки системы уравнения удара можно записать в виде

Следуя идее Лагранжа, введем аксиому идеальных связей для удара. По определению, идеальными будем называть такие связи, для которых сумма работ сил реактивного удара на любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е.

Подставляя сюда значение реактивного удара, найденного из основного уравнения удара для точки, получим общее уравнение теории удара для системы материальных точек

или в проекциях

Это уравнение имеет такое же значение, как и общее уравнение динамики для системы.

Замечание. Если через обозначить силу реакции в некоторой точке, то эта реакция будет нормальной к поверхности связи, если отсутствует трение. За время удара соударяющиеся тела не перемещаются, поэтому за время удара не меняется и направление реакции. Отсюда следует, что во время удара выполняется условие а это значит, что идеальные связи остаются идеальными и для ударных реакций.

За время удара связи могут сохраняться, но могут и не сохраняться. Будем называть связь сохраняющейся, если она существует во время удара и сохраняется после удара. В этом случае действительное перемещение будет допускаться связями и после удара. Связи будем называть несохраняющимися, если они существуют во время удара, но исчезают сразу после удара. Тогда действительное перемещение, имеющее место после удара, не будет принадлежать к перемещениям, допускаемым этой связью.

Рассмотрим некоторые следствия из общего уравнения теории удара для системы материальных точек.

1. Пусть связи, наложенные на систему материальных точек, допускают поступательное перемещение всей системы, как одного целого вдоль некоторой неподвижной оси. Не нарушая общности, можно предполагать, что связи допускают поступательное перемещение всей системы вдоль неподвижной оси х. Тогда среди всех возможных перемещений системы будет находиться перемещение, удовлетворяющее условиям

Подставляя эти значения перемещений в общее уравнение теории удара, будем иметь

Но так как

где — координата центра тяжести по оси х. Полученный результат можно представить в виде

Этот результат можно сформулировать в виде теоремы об изменении количества движения системы за время удара.

Теорема. Если среди возможных перемещений системы имеется поступательное перемещение вдоль оси х, то изменение проекции количества движения системы вдоль оси х равно сумме проекций ударов приложенных к точкам системы, на эту ось х.

2. Предположим, что среди возможных перемещений системы имеется поворот всей системы как одного целого вокруг неподвижной оси z. В этом случае среди возможных перемещений системы будут находиться перемещения

Подставляя эти значения перемещений в общее уравнение теории удара, будем иметь

что легко привести к виду

За время удара скорости точек системы изменяются на конечную величину. Поэтому из уравнения

получим

Но

так как — конечная величина. Следовательно, в течение времени удара имеет место условие

т. е. координаты точек системы не меняются Принимая это обстоятельство во внимание, перепишем полученное уравнение в виде

или

Обозначая момент количества движения системы относительно оси z через

перепишем уравнение

В результате приходим к следующей теореме:

Теорема. Если среди возможных перемещений системы имеется поворот вокруг неподвижной оси z, то изменение момента количества движения системы относительно этой оси за время удара равно сумме моментов ударных импульсов относительно оси