6. Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа.

Положением равновесия является такое положение материальной точки, в котором она будет оставаться, если в начальный момент находилась в этом положении, и ее скорость равнялась нулю.

Если существует силовая функция для равнодействующей действующих на точку сил, то уравнения равновесия принимают вид

и положение равновесия является стационарной точкой для функции Материальная точка, помещенная без начальной скорости в ту точку пространства, где функция принимает стационарное значение, будет в дальнейшем оставаться в этом положении, пока какие-либо другие силы не выведут ее из этого положения.

Выберем систему координат с началом в положении равновесия материальной точки. Может оказаться, что самый незначительный толчок или смещение из этого положения, сообщенные точке, будут достаточны, чтобы привести ее в движение, в котором точка отойдет на конечное расстояние от положения равновесия.

Определение. Положение равновесия называют устойчивым, если для любых двух положительных чисел как бы малы они ни были, найдутся два других положительных числа такие, что как только начальные значения координат и скоростей точки будут удовлетворять условиям

во всякий дальнейший момент времени значения координат и скорости точки будут удовлетворять условиям

Иначе говоря, если положение равновесия точки устойчиво, то движение точки, начавшееся в достаточно малой окрестности этого положения и с достаточно малой скоростью, будет оставаться в некоторой достаточно малой окрестности этого положения равновесия. Положение равновесия, не удовлетворяющее данному определению, будем называть неустойчивым.

Исследованием критериев устойчивости равновесия занимался еще Аристотель, но общие критерии устойчивости равновесия были сформулированы только Лагранжем. Доказательство теоремы об устойчивости равновесия, данное Лагранжем, не вполне совершенно; более аккуратное доказательство принадлежит Лежен Дирихле (1805-1859). Поэтому теорему Лагранжа об устойчивости равновесия иногда еще называют теоремой Лежен Дирихле.

Теорема Лагранжа. Если в положении равновесия материальной точки силовая функция имеет изолированный максимум, то такое положение равновесия устойчиво.

Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Не нарушая общности будем предполагать, что в положении равновесия значение силовой функции равно нулю. Тогда в достаточно малой окрестности положения равновесия функция будет принимать только отрицательные значения. Для доказательства устойчивости положения равновесия достаточно показать, что по любым двум положительным числам, как бы малы они ни были, найдутся другие положительные числа, удовлетворяющие условию устойчивости равновесия.

Принимая положение равновесия за начало координат, рассмотрим такую сферу радиуса с центром в начале координат, чтобы внутри и на границе этой сферы функция не имела бы других стационарных точек, кроме начала координат. Пусть - максимальное значение функции на этой сфере, так что во всех точках поверхности выполняется условие

Пусть, кроме того, — произвольное, сколь угодно малое положительное число и пусть I — наименьшее из двух положительных чисел и Выберем начальные значения координат и начальную скорость так, чтобы они удовлетворяли условиям при о имеют место неравенства

Тогда из интеграла живых сил

будем иметь

поэтому

В действительном движении левая часть этого выражения неотрицательна, а потому

т. е. во все время движения имеет место условие

Но при этом условии точка не может выйти на сферу где удовлетворяется неравенство

Кроме того, из интеграла живых сил имеем

т. е. во все время движения

и условия устойчивости положения равновесия оказываются выполненными. Теорема доказана.

Пример 66. Тяжелая материальная точка, подвешенная к концу элластичного шнура, естественная длина которого равна Подчиняясь закону Гука, под действием силы тяжести шнур растягивается на величину ко (рис. 146). Исследовать колебания материальной точки.

Рис. 146

Решение. Выберем начало неподвижной системы координат в конце нерастяиутого шнура, и ось х направим по вертикали вниз. Тогда точка будет находиться под действием двух сил: силы тяжести и силы натяжения шнура Равнодействующая этих сил обладает силовой функцией

Положение равновесия точки определяется из уравнения

откуда

Потребуем, чтобы в положении равновесия функция обращалась в нуль, т. е. чтобы

откуда

и

Кроме точки функция не имеет других стационарных точек. Положение равновесия оказывается устойчивым, поскольку

Из интеграла живых сил имеем

Если в начальный момент то

Движение точки при заданных начальных условиях происходит при значениях х, удовлетворяющих условиям

или

последнее выполняется для всех значений х, удовлетворяющих неравенствам

Представленное решение справедливо только при одновременном действии снлы тяжести и силы натяжения шнура, т. е. при Участок движения точки при ненатянутом шнуре (когда ) следует рассматривать отдельно, предполагая, что точка находится только под действием силы тяжести.