§ 2. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА - ОСТРОГРАДСКОГО

1. Принцип Гамильтона—Остроградского

В настоящее время стал одним из основополагающих принципов механики. Для голономных механических систем он может быть непосредственно получен как следствие принципа Даламбера — Лагранжа. В свою очередь, все свойства движения голономных механических систем могут быть получены из принципа Гамильтона — Остроградского.

Рассмотрим движение системы материальных точек относительно некоторой инерциальной системы отсчета под действием активных сил Пусть возможные перемещения точек системы стеснены идеальными голономными связями. Обозначим декартовы координаты точки через а независимые лагранжевы координаты через Зависимость между декартовыми и лагранжевыми координатами задается соотношениями

В дальнейшем будем предполагать, что координаты представляются однозначными, непрерывными и сколь угодно раз дифференцируемыми функциями переменных Кроме того, будем предполагать, что из каждого положения системы параметры могут изменяться как в положительном, так и в отрицательном направлении. Движение системы будем рассматривать начиная с некоторого момента времени до момента Пусть начальному положению системы отвечают значения

лагранжевых координат а положению системы в момент — значения Введем в рассмотрение -мерное расширенное пространство координат и времени в котором каждому конкретному положению системы отвечает одна точка. В таком расширенном -мерном пространстве движение системы представляется некоторой кривой, которую в дальнейшем будем называть траекторией системы. Начальному и конечному положениям системы здесь будут соответствовать две точки . В действительном движении системы из положения в положение лагранжевы координаты непрерывно изменяются, определяя в -мерном пространстве кривую, которую будем называть действительнойтраекторией системы. Можно заставить перемещаться систему в соответствии с наложенными на систему связями из положения в положение за тот же интервал времени, но по другой траектории, близкой к действительной, не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения движения. Такую траекторию в -мерном пространстве назовем окольной траекторией. Сравнивая движения по действительной и окольным траекториям, зададимся целью определить действительную траекторию среди окольных. Пусть положение системы в момент на действительной траектории отмечается точкой Р, а положение системы в тот же момент времени на окольной траектории — точкой Р (рис. 252).

Рис. 252

Отрезок соединяющий две точки на различных траекториях в один и тот же момент времени, будет представлять возможное перемещение системы в момент Он соответствует изменению лагранжевых координат в момент при переходе из положения Р в положение Р на величину Возможному перемещению системы будут отвечать вариации декартовых координат которые могут быть выражены через вариации координат Лагранжа в виде равенств

Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство «траекторий»

каждая из которых соединяет точки проходя через них в моменты времени соответственно, и пусть значению параметра отвечает действительная траектория (прямой путь), которую проходит система за время из положения в положение Значениям а, отличным от нуля, отвечают «окольные» траектории (окольные пути), т. е. все остальные траектории, соединяющие точки за время Перемещению системы вдоль какой-либо траектории будет соответствовать изменение лагранжевых координат за счет изменения времени когда параметр а остается неизменным. Параметр а будет меняться лишь при переходе с одной траектории на другую. Вариация координаты будет теперь определяться следующим образом:

а производная по времени от координаты будет иметь вид

Пусть лагранжевы координаты являются однозначными непрерывными дифференцируемыми функциями от . Тогда

или

Полученные соотношения в механике называются «перестановочными». Операции дифференцирования перестановочны только тогда, когда все координаты независимы и не связаны неинтегрируемыми соотношениями.

Покажем, что перестановочность операций варьирования и дифференцирования выполняется и для декартовых координат. Пусть

Тогда

Рассмотрим производную по времени от

С другой стороны,

Вычитая второе равенство из первого, получим

откуда следует

т. e. операции дифференцирования и варьирования перестановочны и для декартовых координат, если на систему материальных точек наложены только голономные идеальные связи.

Перейдем к определению действительной траектории среди всех окольных. Действительное движение системы происходит в соответствии с принципом Даламбера — Лагранжа

который определяет «тенденцию» истинного движения (действительного движения) в каждый момент времени. Рассмотрим интеграл

взятый вдоль действительной траектории системы. Все сравниваемые траектории системы начинаются в один и тот же момент времени и из одной и той же точки -мерного пространства. Все они оканчиваются в одной и той же точке в один и тот же момент времени. Поэтому на концах траекторий при будут выполняться условия

Преобразуем полученное уравнение, проинтегрировав по частям выражение

а так как на концах траектории вариации обращаются в нуль, будем иметь

В силу перестановочности операций дифференцирования и варьирования, имеем

после чего уравнение принимает вид

или

В таком виде полученное уравнение выражает «принцип наименьшего действия» Гамильтона для общих механических систем. На действительной траектории системы обращается в нуль интеграл от функции

Если силы, действующие на систему, обладают силовой функцией , то имеет место соотношение

а выведенное выше уравнение принимает вид

Так как варьирование не связано с изменением времени, то операции варьирования и интегрирования можно поменять местами:

т. e. интеграл на действительной траектории имеет стационарное значение.

Мы показали необходимость стационарного значения интеграла на действительной траектории. Покажем, что обращение вариации интеграла в нуль является достаточным условием действительного движения системы. Для этого достаточно из принципа Гамильтона получить уравнения движения системы.

Рассмотрим механическую систему с голономными идеальными связями, положение которой определяется лагранжевыми координатами а живая сила

зависит от обобщенных скоростей, координат и времени. Принимая во внимание известное соотношение

перепишем принцип Гамильтона в виде

Выполняя варьирование живой силы

и интегрируя затем по частям

так как на концах интервала вариации координат равны нулю, из принципа Гамильтона получим

или

Вариации произвольны и независимы внутри интервала а тогда в силу основной леммы вариационного исчисления равенство будет возможно только тогда, когда все коэффициенты при обращаются в нуль, т. е. когда выполняются условия

Полученные уравнения должны выполняться в действительном движении механической системы. Достаточность принципа Гамильтона доказывается тем, что эти уравнения являются уравнениями Лагранжа второго рода, описывающими движение механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи.

Принцип Гамильтона для механических систем с голономными идеальными связями можно теперь сформулировать следующим образом:

Действительное движение системы с голономными идеальными связями между двумя заданными положениями отличается от кинематически возможных между этими положениями движений, совершаемых за тот же промежуток времени, тем, что на действительном движении обращается в нуль интеграл

для всех значений удовлетворяющих указанным условиям.

Принцип Гамильтона может быть принят в качестве основного принципа механики систем с идеальными голономными связями. Мы доказали, что интеграл принимает стационарное значение на действительной траектории системы, но при некоторых ограничениях можно показать, что действительная траектория не только является экстремалью, но и доставляет наименьшее значение интегралу

Вопрос о характере экстремума не имеет существенного значения при выводе уравнений движения. Но существуют задачи, в которых использование свойств минимальности играет большое, значение. Если произвольно выбирать начальное и конечное положения системы, то может оказаться, что эти два положения невозможно соединить действительной траекторией или, как говорят, «прямым путем». Так, например, при прямолинейном движении точки в поле тяготения будем иметь

Положения точки не могут быть соединены прямым путем за время

В общем случае между двумя данными положениями можно провести несколько отличных друг от друга прямых путей, по которым движение происходит за одно и то же время. Если два положения таковы, что могут быть соединены между собой несколькими различными прямыми путями, то такие положения называются сопряженными кинетическими фокусами.

Рассмотрим в качестве примера движение несвободной материальной точки массы вынужденной оставаться на поверхности сферы радиуса при отсутствии силового поля. В сферических координатах кинетическая энергия точки

Так как координата является циклической, ей соответствует циклический интеграл

Известно, что при отсутствии силового поля точка движется по геодезической кривой. Такими геодезическими кривыми в данном случае являются дуги больших кругов. Таким образом, прямое движение — это движение точки по дуге большого круга. Не нарушая общности, можно всегда предположить, что во все время, движения выполняется условие откуда следует Тогда в действительном движении будет выполняться условие т. е. прямой путь будет представлять равномерное движение точки по дуге большого круга. Обозначая через W интеграл

будем иметь

В окольном движении

поэтому

где — окольный путь; — прямой путь. Если точки являются диаметрально противоположными точками, то они будут сопряженными кинетическими фокусами. Во всех остальных случаях окольная дуга всегда будет больше дуги большого круга. Если расстояние между больше, чем , то окольный путь может стать короче прямого и действие не будет иметь минимума.