3. Бесконечно малые канонические преобразования.

Рассмотрим фазовое пространство переменных -Каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией определяет множество преобразований этого пространства с помощью формул преобразования

если рассматривать время как некоторый параметр преобразования. Каждому значению времени соответствует свое определенное

преобразование. Рассмотрим два таких преобразования, соответствующие моментам времени и . Каждое из этих преобразований можно рассматривать как преобразование фазового пространства самого на себя. Первое отображает некоторую точку А фазового пространства в точку В, второе — ту же точку А в некоторую другую точку Производящая функция преобразования является непрерывной функцией времени Поэтому при точка стремится к точке В. Ввиду того, что канонические преобразования обладают групповыми свойствами, переход от точки В к точке тоже осуществляется каноническим преобразованием.

Рис. 253

Таким образом, с помощью канонических преобразований каждая точка фазового пространства переходит в соседнюю, близкую к ней точку, так что

где — малые величины. Подобное преобразование называется бесконечно малым каноническим преобразованием. При таком преобразовании точки фазового пространства получают бесконечно малые смещения. Рассмотрим два бесконечно малых канонических преобразования одной и той же точки фазового пространства в бесконечно близкие точки фазового пространства (рис. 253):

где

Так как — бесконечно малые величины, то, пренебрегая величинами выше первого порядка малости, получим

Откуда

поэтому, рассматривая разность уравнений преобразования, будем иметь

Определяя из формул преобразования координаты как функции и подставляя эти значения в получим

Тогда условие канонического преобразования примет вид

Сравнивая здесь коэффициенты при будем иметь:

Эти уравнения в явном виде определяют бесконечно малое каноническое преобразование. Переходя к пределу при получим уравнения

которые являются каноническими уравнениями Гамильтона, если -функция Гамильтона. Результат можно сформулировать следующим образом: в фазовом пространстве движение системы можно представить как непрерывную последовательность бесконечно малых канонических преобразований, т. е. как задачу о преобразовании координат.

Замечание. Точки связаны формулами канонического преобразования, которому в случае соответствует производящая функция удовлетворяющая уравнению — Тогда V будет совпадать с функцией Гамильтона.