II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА

При решении задач о равновесии в элементарной статике применяются исключительно геометрические методы, основанные на свойствах векторов.

Аналитическая статика дает другой метод исследования равновесия механических систем, в основе которого лежит понятие работы сил, действующих на исследуемую систему.

При наличии связей уравнения равновесия механической системы, получаемые геометрическим методом, кроме активных сил содержат еще и силы реакций, которые необходимо исключить из уравнений для определения возможных положений равновесия системы. Число подлежащих исключению реакций тем больше, чем больше связей наложено на исследуемую систему. Но поскольку силы реакции не создают движения системы, естественно искать такие условия равновесия, которые бы не содержали реакции связей. Эти условия могут быть получены при помощи принципа возможных перемещений.

Еще Аристотель использовал метод возможных перемещений при решении задачи о равновесии рычага. Галилей применял его для исследования равновесия простейших машин. Однако окончательное завершение метод получил только в 1717 г. в работах И. Бернулли и Лагранжа. Швейцарский ученый И. Бернулли (1667—1748) первым показал общность принципа возможных перемещений и его преимущества при решении задач статики. Лагранж дал первое доказательство этого принципа. После Лагранжа появилось еще несколько других доказательств. Наиболее известные из них принадлежат Амперу, К. Нейману и Ж. Фурье (1768—1830).

§ 1. РАБОТА СИЛЫ НА ПЕРЕМЕЩЕНИИ. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ

Понятие работы силы на элементарном перемещении является одним из важнейших в механике. Пусть материальная точка, находящаяся под действием силы совершает некоторое элементарное перемещение из положения в положение и вектор элементарного перемещения точки имеет проекции на неподвижные оси (рис. 117). Вне зависимости от того, будет или нет сила F действовать на точку на всем перемещении, работой силы F на элементарном перемещении будем называть скалярное произведение силы F и перемещения

Это формальное определение теряет смысл, если не говорится о силе или о перемещении. Рассмотрим некоторые примеры.

1. В определении работы не возникает никаких сомнений, если сила действует на материальную точку на всем перемещении

2. Предположим, что тяжелый цилиндр находится на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 118). Тогда со стороны плоскости на цилиндр будет действовать сила реакции направленная перпендикулярно к плоскости. Если сообщить цилиндру бесконечно малое перемещение и при котором он покидает плоскость, то работа силы на этом перемещении, по определению, будет отлична от нуля, хотя сила и перестает действовать на цилиндр, как только последний начнет перемещаться.

Рис. 117

Рис. 118

Рис. 119

Рис. 120

3. Рассмотрим перемещение шероховатой пластинки на острию (рис. 119). На точку М пластинки действует сила реакции которая совершает отличную от нуля работу на перемещении точки М пластинки, хотя сила и не действует на точку М пластинки на всем ее перемещении. На острие со стороны пластинки действует сила равная по величине силе но направленная в противоположную сторону. Эта сила не совершает работы на перемещении точки М острия, так как острие остается неподвижным.

4. Цилиндр катится без скольжения по плоскости. Если плоскость шероховата, то на цилиндр со стороны плоскости в

общем случае действует сила реакции направленная под некоторым углом а к плоскости (рис. 120). Работа силы на перемещении точки А цилиндра равна нулю, а на перемещении точки касания плоскости с цилиндром работа силы отлична от нуля.

Если элементарные перемещения точки образуют целую линию и сила действует на точку на всем ее перемещении по линии, то можно говорить о работе силы на криволинейном пути материальной точки, определяя эту работу криволинейным интегралом

В общем случае эта работа зависит не только от силы, действующей на точку, но и от вида кривой, по которой перемещается точка. Если элементарная работа силы на бесконечно малом перемещении представляет собой полный дифференциал некоторой функции , зависящей только от координат точки, т. е. имеет место равенство

то силы, действующие на материальную точку, могут быть представлены частными производными от этой функции

Функция называется силовой функцией. Необходимые и достаточные условия существования силовой функции можно представить в виде

При выполнении этих условий работа силы на криволинейном участке пути будет зависеть лишь от начального и конечного цоложений точки. В самом деле

Силы, обладающие этим свойством, называются консервативными. Если силовая функция однозначна, то, как известно, интеграл по замкнутому контуру будет равен нулю. Для неоднозначных функций этот интеграл может быть и отличным от нуля. Поверхности, на которых силовая функция принимает постоянное значение

называются поверхностями уровня

Чтобы выяснить, как расположены силы по отношению к поверхности уровня, рассмотрим систему прямоугольных осей с началом в точке М поверхности уровня так, чтобы оси х и у были расположены в касательной плоскости к поверхности уровня. Ось z направим по нормали к поверхности в сторону увеличения функции Тогда, представляя как функцию координат х, у, z, в точке М будем иметь

откуда

т. е. сила направлена ортогонально к поверхности уровня в сторону возрастания силовой функции.

Рассмотрим некоторые наиболее важные примеры сил, обладающих силовой функцией.

Сила тяжести.

Выберем систему координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх. Тогда действующая на материальную точку сила тяжести будет иметь следующие проекции:

где — масса точки; ускорение силы тяжести. Элементарная работа силы тяжести на произвольном перемещении

представляет собой полный дифференциал функции

которая и называется силовой функцией силы тяжести.

Упругая сила. Такой силой является сила притяжения к неподвижному центру, пропорциональная расстоянию точки от этого центра. Проекции силы на оси координат имеют вид

а силовая функция должна удовлетворять условиям

Отсюда находим для силовой функции следующее выражение:

В качестве примера для силы, не обладающей силовой функцией, рассмотрим силу, имеющую следующие проекции на оси координат:

Для этой силы будем иметь

и условие

не выполняется.