4. Задача о падении тяжелой точки в пустоте.

Рассмотрим вопрос о влиянии вращения Земли на движение свободной материальной точки в пустоте. Движение это будем изучать в местной системе координат. Ось z направим вертикально вверх, т. е. по линии действия силы тяжести. Ось х направим перпендикулярно к оси в плоскости меридиана (рис. 178). Кроме силы тяжести на движущуюся точку будет действовать сила Кориолиса от добавочного ускорения. Проекции угловой скорости вращения Земли на подвижные оси координат равны

Тогда проекции добавочного ускорения будут

и уравнения движения получат вид

Движение материальной точки определяется системой линейных дифференциальных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Нас будет интересовать частное решение этих уравнений, соответствующее начальным условиям

Можно было бы построить общее решение системы дифференциальных уравнений, но это будет связано с громоздкими вычислениями. Поэтому воспользуемся приближенным методом интегрирования уравнений движения — методом последовательных приближений Пикара.

За нулевое приближение возьмем систему и подставим эти значения координат в правые части уравнений движения. Будем иметь

Интегрированием найдем первое приближение

Подставляя эти значения координат в правые части уравнений движения, получим

Интегрируя, получим второе приближение

иткуда следует, что точка кроме движения по вертикали вниз совершает движение к востоку. Подстановка в правые части исходных дифференциальных уравнений второго приближения дает

Интегрируя эти уравнения, получаем третье приближение

Рис. 179.

Третье приближение показывает, что точка в своем движении будет отклоняться к югу и к востоку. Эти отклонения легко могут быть объяснены. В самом деле, точка в начальный момент находится в покое относительно вращающейся системы координат. Относительно неподвижной системы координат точка в начальный момент имеет отличную от нуля абсолютную скорость. Заметим, что если время падения равно сек, то отклонение к югу равно 0,04 мм, а отклонение к востоку — 13 см.