1. Преобразования Лежандра.
Введем некоторую произвольную функцию F от переменных 
стесненную лишь условием, что определитель из вторых производных от этой функции, т. е.
отличен от нуля. При помощи этой функции определим новые переменные у:
после чего, введя новую функцию от переменных 
рассмотрим бесконечно малую вариацию функции 
вызванную произвольными бесконечно малыми вариациями переменных 
Будем иметь
В силу определения переменных у коэффициенты при вариациях координат 
обращаются в нуль, поэтому будем иметь, сравнивая вариации левой и правой частей:
Последние уравнения определяют обратное преобразование от переменных у к переменным х
Преобразование Лежандра может быть применено не ко всем переменным, а только к некоторым из них. Пусть, например, движение системы определяется переменными
а преобразуются только переменные 
Тогда переменные 
называются активными переменными преобразования, а 
— пассивными переменными преобразования. Предположим, что функция
такова, что определитель матрицы
составленной из частных производных второго порядка по переменным 
отличен от нуля. Тогда можно рассмотреть преобразование к новым переменным у
рассматривая величины 
как некоторые параметры преобразования. Определив при помощи равенства
функцию 
обратное преобразование получим при помощи равенства
Варьирование функции 
приводит нас к равенству
откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях координат, получим в дополнение еще одно равенство
Пример 115. Пусть положение механической системы определяется лагранжевыми координатами 
и обобщенными скоростями 
и пусть первые 
лагранжевых координат являются циклическими. Рассмотрим преобразование Лежандра при помощи функции Лагранжа, принимая в качестве активных переменных циклические скорости.
Как и прежде, будем обозначать циклические скорости и координаты индексом а, а позиционные индексом 
Преобразование Лежандра, определяющееся функцией Лагранжа
дается формулами
которые представляют собой циклические интегралы уравнений Лагранжа. Для определения обратного преобразования имеем функцию
откуда
и, кроме того, равенства
где функция 
называемая функцией Рауса, зависит от переменных 
Тогда уравнения Лагранжа для переменных q (позиционный координат) перейдут в уравнения Рауса
