системы регулирования при 
Каждой системе начальных значений 
соответствует решение
уравнений (XI.1). Предполагается, что это решение определено для любых значений времени 
и оно является единственным. Решение (XI.2) описывает какое-либо движение системы автоматического регулирования, определяемое ее исходным состоянием, и предположение о том, что такое движение единственно, отвечает существу большинства физических законов.
Допустим, что среди всех движений системы, описываемой уравнениями (XI. 1), нас особенно интересует то, которое описывается заданными функциями времени
Предполагается, что эти функции удовлетворяют уравнениям (XI.1), т. е.
В частном случае, когда параметры системы не изменяются со временем и функции 
не зависят явно от тогда движения (XI.3) являются установившимися. Им отвечают так называемые очевидные решения
служащие корнями уравнений
В дальнейшем будем говорить об устойчивости движения системы, имеющей решение (XI.3), рассматривая ее установившееся движение (XI.4) как частный случай.
Одним из основных вопросов теории автоматического регулирования является вопрос о том, соответствует ли решение (XI.3) какому-либо физически существующему процессу в системе автоматического регулирования.
Как известно из опыта, физически наблюдаемым и действительно существующим процессам однозначно соответствуют так называемые устойчивые решения (XI.3), а физически ненаблюдаемым процессам — неустойчивые решения (XI.3). Следовательно, в математической трактовке вопрос о соответствии решения (XI.3) физически наблюдаемому и установившемуся процессу в системе автоматического регулирования — это вопрос об устойчивости или неустойчивости решения (XI.3).
В дальнейшем удобно иметь дело с уравнениями, полученными из системы уравнений (XI. 1) путем преобразования переменных по формуле
По терминологии Ляпунова эти уравнения называются уравнениями возмущенного движения и имеют вид
где обозначено
Формула (XI.5) определяет преобразование переноса начала координат в точку с координатами 
вследствие чего очевидному решению (XI.4) уравнений (XI. 1) соответствует очевидно решение
уравнений (XI.6). По терминологии Ляпунова это решение следует называть невозмущенным движением системы.
Пусть при 
переменные 
принимают какие-либо свои начальные значения 
из которых, по крайней мере, одно не равно нулю; эти значения называются возмущениями. Каждой заданной системе таких возмущений отвечает однозначное и непрерывное решение
уравнений (XI.6), которое называют возмущенным движением системы автоматического регулирования.
Если известны все решения (XI.9), то мы знали бы все возмущенные движения системы автоматического регулирования. Но в большинстве случаев отыскивание решений (XI.9) представляет задачу непреодолимой трудности, что лишает нас возможности получить руководящее начало для рационального выбора параметров регулятора. В таком случае нужен общий подход к чисто качественному, одновременному обозрению всего семейства возмущенных движений (XI.9), который позволил бы без интегрирования судить об их специфических тенденциях при 
сходится к невозмущенному движению (XI.8) независимо от того, какими частными значениями возмущений 
определяется движение (XI.9).
Учение Ляпунова об устойчивости движения позволяет судить об интересующих нас свойствах возмущенных движений, не прибегая к интегрированию уравнений (XI.6), и поэтому указывает путь к рациональному построению регуляторов. Если окажется, что при определенной настройке регулятора решение (XI.8) будет устойчивым, то это будет означать, что регулируемая система сама, без постороннего вмешательства, изберет тот режим невозмущенного движения, который соответствует этому решению. Если же решение (XI.8) будет неустойчивым, то такого режима физически осуществить нельзя, ибо при сколь угодно малых возмущениях 
система автоматического регулирования будет удаляться от него неограниченно. Таким образом, определение устойчивости
невозмущенного движения (XI.8), данное Ляпуновым, получает большое прикладное значение при изучении важных вопросов современной техники. Смысл этого определения применительно к задачам теории автоматического регулирования состоит в следующем.
Будем наблюдать в каждый момент времени 
любое возмущенное движение (XI.9) и сравнивать с невозмущенным движением (XI.8) путем изучения разностей
начальное значение которых
Итак, невозмущенное движение (XI.8) называется устойчивым по отношению к величинам 
если при всяком произвольно задан ном положительном числе 
, как бы мало оно ни было, найдется другое такое положительное число 
при котором для всех возмущений 
удовлетворяющих условиям
возмущенное движение (XI.9), как следствие, будет удовлетворять неравенствам
при любом 
Если же при любом сколь угодно малом заданном 
невозможно найти такое число 
при котором, для любых возмущений 
удовлетворяющих условиям (XI. 10), ни одно неравенство 
не нарушается, то невозмущенное движение (XI.8) называется неустойчивым. Этому определению можно придать наглядный геометрический характер, имея в виду, что все многообразие возмущенных движений в уравнении (XI.9) возникает вблизи начала координат, определяемого равенствами (XI.8).
Невозмущенное движение в уравнении (XI.8) называется устойчивым по отношению к величинам 
если при всяком произвольно заданном и положительном числе А, как бы оно ни было мало, возможно выбрать такое число 
что для всех возмущений 
удовлетворяющих условию
возмущенное движение (XI.9), как следствие, будет удовлетворять неравенству
при всяком 
; в противном же случае невозмущенное движение называется неустойчивым.
Множество точек, удовлетворяющих условию 
назовем 
-окрестностью, а множество точек, удовлетворяющих неравенству (XI. 10а), 
-окрестностью очевидного решения (XI.8).
Неравенство (XI. 10а) ограничивает совокупность начальных возмущений системы автоматического регулирования, неравенство 
ограничивает характер протекания возмущенного движения системы во времени. Во всех тех случаях, когда эти неравенства соблюдаются, говорят, что возмущенное движение системы регулирования сходится к движению невозмущенному, что и выражает собой физический смысл устойчивости невозмущенного движения по Ляпунову.
Однако характер определенной таким образом сходимости возмущенных движений к невозмущенному движению (или, что то же самое, характер устойчивости невозмущенного движения) может быть двояким. Так, во-первых, если А — любое выбранное и фиксированное число, то, изучая устойчивость интересующих нас решений, мы можем, вообще говоря, утверждать, что возмущенные движения способны пребывать в 
-окрестности невозмущенного движения. Во-вторых, дальнейшее выяснение деталей возмущенного движения, связанное с возможностью изменять число Л и, в частности, выбирать его сколь угодно малым, позволяет обнаружить либо асимптотический характер возмущенного движения, при котором 
либо его стремление оставаться в Л-окрестности, более узкой, чем та, которая была определена в самом начале.
Выражение 
означает квадрат расстояния изображающей точки М от начала координат.
В случае асимптотического характера возмущенных движений точка М непрерывно приближается к началу координат и функция 
убывает. Таким образом, мы имеем 
при любом 
Тогда, каково бы ни было сколь угодно малое число А, всегда найдется (в силу условия 
) такое число 
что неравенства (XI. 10а) и 
выполняются. При этом может оказаться, что каково бы ни было фиксированное число 
, всегда можно выбрать такое число Я, что неравенства (XI. 10а) и 
удовлетворяются при любых 
принадлежащих 
тогда говорят об устойчивости невозмущенного движения в большом. Если же выполнение неравенств (XI.10а) и 
требует ограничения возмущений 
их достаточно малыми значениями, то говорят об устойчивости в малом.
В некоторых весьма важных случаях работы систем требуется так выбирать параметры регулятора, чтобы исследуемый установившийся режим работы системы обладал безусловной неустойчивостью, т. е. был бы физически неосуществимым.
Учение Ляпунова об устойчивости движения позволяет решить и этот весьма сложный и важный вопрос теории автоматического регулирования с помощью известных теорем Ляпунова и Четаева о неустойчивости.
В качестве примера, иллюстрирующего приведенные выше положения, рассмотрим задачу о возмущенных движениях простой системы автоматйческого регулирования так называемого нейтрального самолета, управляемого автопилотом. Уравнения движения ее таковы:
где 
— координата объекта регулирования;
— координата регулирующего органа;
— положительные постоянные;
— постоянные регулятора;
— заданная функция аргумента а, обладающая свойством 
при 
Обозначив 
получим исходные уравнения в нормальной форме
Их очевидное решение определяется уравнениями:
откуда находим
Задача состоит в таком выборе постоянных регулятора, при которых полученное решение обладало бы устойчивостью по Ляпунову.
— переменные, описывающие состояние системы регулирования;
— известные функции, определенные в некоторой фиксированной области 
пространства переменных 
и при любом 
вектора скорости V движения некоторой точки М, называемой изображающей точкой. С физической точки зрения уравнения (XI. 1) следует рассматривать как математическую форму записи тех физических законов, которым подчиняется система автоматического регулирования.
Область 
определения функций 
является той частью пространства 
на которую распространяется действие означенных физических законов.
обозначают начальные значения переменных 
Они однозначно определяют исходное состояние
