4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСНО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Построим логарифмические амплитудную и фазовую характеристики квадратичного трехчлена для случая изменения независимой переменной вдоль некоторой радиальной прямой

Рис. XVIII. 11. Графики поправок к фазовой характеристике для двух случаев относительного положения радиальной прямой и комплексных сопряженных корней квадратичного трехчлена

Если — корни квадратичного трехчлена, то этот трехчлен можно записать в виде

Как уже отмечалось, комплексные корни квадратичного трехчлена (XVI 11.18) изображаются в плоскости точками, расположенными на радиальных прямых, индекс которых равен коэффициенту демпфирования квадратичного трехчлена, причем

расстояние этих точек до начала координат равно недемпфированной частоте трехчлена (рис. XVIII. 10).

Возможны два случая относительного расположения точек изображающих корни трехчлена, и радиальной прямой вдоль которой изменяется независимая переменная (имеются в виду радиальные прямые в верхней полуплоскости Первый случай — когда радиальная прямая проходит выше точек (рис. XVIII. 11,а), второй — когда радиальная прямая проходит между этими точками (рис. XVIII. 11,в).

Рис. XVIII. 12. Графики, иллюстрирующие возможность нахождения комплексно-частотных логарифмических характеристик квадратичного трехчлена для радиальной прямой как суммы логарифмических характеристик двучлена для радиальных прямых и (первый случай расположения)

Рассмотрим сначала первый случай расположения прямой и точек и Из рис. XVIII. 12,а видно, что сомножители и выражения (XVIII. 18) изображаются векторами, исходящими соответственно из точек и и оканчивающимися в текущей точке радиальной прямой Фазовый угол трехчлена определяется следующим выражением (см. рис. XVIII. 12,а):

Поскольку имеем

Повернем треугольники вокруг начала координат О соответственно против и по часовой стрелке таким образом, чтобы их вершины попали на отрицательную часть действительной оси. Тогда получим картину, изображенную на

рис. XVIII.12, б (вершины треугольников К и К" попадают в одну и ту же точку К). Фазовый угол трехчлена можно определить по формуле (XVIII. 19) как сумму углов при вершине К теперь уже повернутых треугольников, т. е.

Если на рис. XVIII. 12, б точку К рассматривать как точку, изображающую корень — двучлена то согласно (XVIII.20) фазовый угол квадратичного трехчлена можно трактовать как сумму фазовых углов этого двучлена при изменении независимой переменной вдоль двух радиальных прямых, индексы которых определяются формулами

Фигурирующие в этих формулах параметры и представляют собой, как уже отмечалось, коэффициент демпфирования рассматриваемого квадратичного трехчлена и индекс радиальной прямой, для которой строятся логарифмические амплитудная и фазовая характеристики этого трехчлена.

Модуль квадратичного трехчлена определяется выражением (см. рис. XVIII. 12,б)

Поскольку отрезки представляют модуль двучлена при изменении вдоль радиальных Прямых и легко видеть, что Логарифмическая комплексно-частотная амплитудная характеристика квадратичного трехчлена соответствующая изменению вдоль радиальной прямой равна сумме логарифмических амплитудных характеристик двучлена при изменении вдоль двух радиальных прямых, индексы которых определяются формулами (XVIII.21).

Практически построение логарифмической амплитудной характеристики трехчлена сводится к следующему. Сначала строится асимптотическая логарифмическая амплитудная характеристика, равная сумме асимптотических характеристик двух одинаковых двучленов Она всегда одна и та же, независимо от радиальной прямой вдоль которой строятся логарифмические характеристики (излом асимптотической амплитудной характеристики квадратичного трехчлена от отрезка с наклоном к отрезку с наклоном происходит при Поправка к асимптотической амплитудной характеристике зависит от относительного коэффициента демпфирования рассматриваемого трехчлена и от углового коэффициента радиальной прямой Для построения графика поправки вычисляем по формулам (XVIII.21) приведенные коэффициенты Затем,

выбрав среди семейства графиков на рис. XVIII.5 два графика, отмеченные соответственно индексами переносим их на прямую, около которой производится суммирование поправок. Ось симметрии этих графиков необходимо совместить с вертикалью, проходящей через излом асимптотической характеристики, вызванный рассматриваемым квадратичным трехчленом.

Для рассматриваемого здесь первого случая взаимного расположения обе радиальные прямые проходят выше точки изображающей корень двучлена (рис. XVIII. 12,6). Поэтому при изменении вдоль этих радиальных прямых ординаты фазовых характеристик положительны. Логарифмическая фазовая характеристика трехчлена равна сумме двух только что указанных фазовых характеристик двучлена Она может быть получена как сумма асимптотической фазовой характеристики и поправок к этой характеристике.

Низкочастотная асимптота фазовой характеристики трехчлена представляет собой прямую, совпадающую с осью абсцисс, а высокочастотная — прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая отстоит от оси абсцисс на расстоянии, равном сумме ординат высокочастотных асимптот двух упомянутых выше фазовых характеристик двучлена Используя рис. XVIII.12, б, находим

Таким образом, высокочастотная асимптота фазовой характеристики трехчлена проходит на уровне

где — угол, составляемый радиальной прямой с положительным направлением действительной оси.

Поправками к асимптотической фазовой характеристике трехчлена служат две кривые семейства поправок на рис. XVII 1.7, отмеченные индексами , где вычисляются по формулам (XVIII.21) (см. рис. XVIII.11,6).

Рассмотрим теперь второй возможный случай относительного расположения корней трехчлена и радиальной прямой т. е. случай, когда прямая проходит между точками (рис. XVIII. 13,а). На рис. XVIII. 13,а построения аналогичны выполненным на рис. XVIII. 12,а. Используя эти построения, получим векторную диаграмму (рис. XVIII. 13,6), из которой видно, что логарифмическая амплитудная комплексно-частотная характеристика квадратичного трехчлена для рассматриваемого случая расположения прямой и точек ничем не отличается от амплитудной характеристики, соответствующей изменению вдоль прямой при первом варианте ее расположения относительно точек Что касается фазовой характеристики квадратичного трехчлена,

то, будучи суммой фазовых характеристик двучлена при изменении вдоль радиальных прямых , она, как и раньше, может быть представлена в виде суммы асимптотической фазовой характеристики и соответствующих поправок к ней.

В рассматриваемом втором случае расположения прямой и точек низкочастотная асимптота фазовой характеристики по-прежнему совпадает с осью абсцисс, а высокочастотная представляет собой параллельную оси абсцисс прямую, проходящую на

Рис. XVIII. 13. Графики, иллюстрирующие возможность нахождения комплексно-частотных логарифмических характеристик квадратичного трехчлена для радиальной прямой как суммы логарифмических характеристик двучлена для радиальных прямых и (второй случай расположения)

Как видно из рис. XVIII.13, б, величина отрицательна, а положительна. Из рис. XVIII.13, б находим

Таким образом, высокочастотная асимптота фазовой характеристики квадратичного трехчлена проходит на уровне

где - угол между положительным направлением действительной оси и радиальной прямой отсчитываемой по часовой стрелке;

— угол между теми же направлениями, отсчитываемый против часовой стрелки.

В качестве поправок к асимптотической фазовой характеристике следует использовать кривую, отмеченную на рис. XVIII.7 индексом и кривую, являющуюся зеркальным отражением кривой с индексом рис. XVIII.11, г). Величины в данном случае определяют по формулам (XVI 11.21).

При описанном выше способе построения фазовой характеристики квадратичного трехчлена (первый и второй случаи расположения прямой и точек фазовая характеристика получается в виде непрерывной кривой. При изменении вдоль радиальной прямой фазовый угол трехчлена как это и должно быть, получается равным нулю (для действительных отрицательных значений этот трехчлен представляет собой действительную положительную величину).

Логарифмические амплитудная и фазовая комплексно-частотные характеристики звена получаются путем зеркального отражения относительно оси абсцисс соответствующих логарифмических комплексно-частотных характеристик звена