1. УСТОЙЧИВОСТЬ И ПРИНЦИП АРГУМЕНТА

Наиболее распространенными критериями устойчивости являются следующие критерии: Рауса, Гурвица, Михайлова и Найквиста-Михайлова. Несмотря на различие перечисленных выше критериев устойчивости, все они вытекают из известной теоремы теории функций комплексного переменного, а именно теоремы Коши относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области.

Предположим, что характеристическое уравнение исследуемой системы имеет вид

Очевидно, что корни этого уравнения можно изобразить точками на комплексной плоскости, причем корням, имеющим отрицательную вещественную часть, соответствуют точки, расположенные в левой полуплоскости.

Но корни уравнения (XII. 1) являются нулями функции комплексного переменного

Таким образом, решение вопроса об устойчивости системы сводится к определению, в какой полуплоскости (левой или правой) расположены нули функции

Следовательно, прежде всего необходимо найти правило, позволяющее считать нули рациональной функции комплексного переменного Его можно получить из известной теоремы Коши, которая утверждает, что если функция аналитична внутри и на заданном контуре С, за исключением тех точек, в которых она имеет полюса, то интеграл

взятый по замкнутому контуру С в положительном направлении, равен разности между числом нулей и полюсов рассматриваемой функции в заданной области, причем каждый полюс или нуль считаются в соответствии с его кратностью, т. е.

Этому соотношению можно дать простую геометрическую интерпретацию, положив, что

где А и Ф — вещественны.

Подставляя выражение (XII. 3) в равенство (XII. 2), получим

или, приравнивая мнимые части, найдем

Так как соответствует одному обороту, а интеграл представляет собой полное число оборотов вектора в плоскости (рис. XII. 1.2,б). Применение принципа аргумента для определения разности между числом нулей и полюсов, которое он делает при однократном обходе переменной вокруг заданного контура С в плоскости (рис. XII. 2,а), то мы получим следствие из теоремы Коши, называемое принципом аргумента. Разность между числом нулей и полюсов однозначной аналитической функции заключенных внутри замкнутого контура С, в точках которого функция не обращается в нуль, равна числу полных оборотов вектора, изображающего функцию вокруг начала координат в положительном направлении в плоскости в то время как точка описывает контур С в том же направлении. Это и есть искомое правило.

Рис. XII.2. Применение принципа аргумента для определения разности между числом нулей и полюсов

Рассмотрим теперь функцию представляющую собой левую часть характеристического уравнения описываемой динамической системы. В качестве замкнутого контура С, о котором говорится в принципе аргумента, выберем контур, состоящий из полуокружности бесконечно большого радиуса, расположенной в правой полуплоскости, и мнимой оси (см. рис. XII. 3). Тогда, если окажется, что внутри этого контура функция не имеет нулей, то все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части и, следовательно, система будет устойчивой.

Таким образом, как следствие из принципа аргумента, можно сформулировать следующий критерий устойчивости линейных систем.

Динамическая линейная система устойчива, если при обходе точкой замкнутого контура С, состоящего из полуокружности бесконечно большого радиуса, расположенного в правой

полуплоскости, и мнимой оси комплексного переменного число оборотов вектора соответствующего левой части характеристического уравнения системы, вокруг начала координат на плоскости равно нулю.