ГЛАВА XVII. СВЯЗЬ МЕЖДУ КАЧЕСТВОМ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ. МЕТОД КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ
В настоящей главе мы рассмотрим связь между распределением нулей и полюсов передаточной функции системы и аналитическим выражением, определяющим переходный процесс. Если в процессе проектирования системы автоматического регулирования были получены характеристики переходного процесса, не соответствующие поставленным техническим условиям, то изменением положения корней характеристического уравнения можно получить это соответствие. Однако при таком методе проектирования неясно, каким образом нужно изменять корни, чтобы получить требуемые характеристики переходного процесса. Метод корневого годографа (траектории корней) [20], [31] в значительной степени устраняет это затруднение, так как он позволяет проследить, как меняются корни характеристического уравнения при изменении от 
до 
линейно-входящего параметра системы.
Ниже будет показано, что этот метод дает возможность: установить области устойчивости системы по данному параметру (совпадающие с областями Д-разбиения); использовать рекомендации по расположению корней, дающих оптимальный переходный процесс; выбрать тип и параметры требуемого корректирующего устройства системы.
Учитывая, что большое влияние на качество переходного процесса имеет расположение нулей передаточной функции относительно полюсов, а также расположение полюсов комплексного спектра внешнего воздействия, последний параграф главы посвящен анализу этого вопроса и формулировке рекомендаций по выбору рационального распределения нулей и полюсов передаточной функции по отношению к заданному спектру внешнего воздействия.
В заключение следует отметить, что метод корневого годографа позволяет непосредственно применять к анализу и синтезу линейных систем классические методы теории линейных дифференциальных уравнений, получившие в настоящее время довольно широкое развитие.
1. ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим выражение для преобразования Лапласа 
переменной 
характеризующей протекание переходного процесса в исследуемой системе. Полагая, что преобразование Лапласа 
для воздействия 
представляет дробно-рациональную функцию от 
вида 
выражение для 
можно представить в виде
Разложив многочлены 
на множители, получим
Далее, положив 
будем иметь 
Последнее выражение показывает, что в общем случае преобразование Лапласа 
для изменения регулируемой величины в переходном процессе зависит от следующих факторов:
распределения полюсов К передаточной функции (корней характеристического уравнения);
распределения нулей у передаточной функции; возмущающего воздействия 
(нулей а и полюсов 
его изображения);
начальных условий в виде функции 
постоянных коэффициентов 
Применим к выражению (XVII. 3) обратное преобразование Лапласа, предположив для простоты, что все нули 
простые. Пользуясь формулой (XVII. 3) и группируя отдельно члены, соответствующие полюсам А, передаточной функции, полюсам 
преобразования Лапласа 
для воздействия и начальным условиям, получим
Если преобразование Лапласа 
возмущающего воздействия имеет один полюс в начале координат, т. е. если
то выражение для регулирующей величины примет вид
Обозначим постоянные
Выражение (XVII. 4) получит вид
Первые два члена представляют вынужденную составляющую решения, определяемую полюсами преобразования Лапласа 
возмущающего воздействия 
. В данном случае при наличии полюса этого преобразования в начале координат и при 
вынужденная часть решения имеет постоянную составляющую 
Обозначив вынужденную составляющую решения через 
, можно написать
Два последних члена выражения (XVII. 5) представляют собственную составляющую, определяемую полюсами передаточной функции системы. Первый из них определяет собственные движения, возникающие в системе под влиянием возмущающего воздействия, и зависит от его вида. Эта составляющая имеет место и при нулевых начальных условиях. Иногда ее называют собственной сопровождающей составляющей и обозначают 
Последний член решения целиком определяется передаточной функцией системы и начальными условиями и носит название свободной составляющей решения; обозначим ее 
Тогда в общем виде решение дифференциального уравнения процесса регулирования можем записать
