19. МНОГОМЕРНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим вначале простую нелинейную систему (рис. VII. 13), состоящую из последовательного соединения линейной системы с импульсной переходной функцией 
и квадратора.
Рис. VII. 13. Последовательное соединение линейного динамического элемента и квадратора
Величина на выходе 
линейной части равна
а величина на выход 
квадратора:
Подставляя выражение (VII. 171) в (VII. 172), найдем
или
где
Пусть 
тогда 
, следовательно, 
согласно уравнению (VII. 173) можно записать в виде
Таким образом выражение 
можно рассматривать как импульсную переходную функцию нелинейной системы (рис. VII. 13).
Рис. VII. 14. Последовательное соединение линейного динамического и нелинейного элементов
Рассмотрим теперь более общий случай (рис. VII. 14), когда нелинейная часть системы может быть представлена в виде произвольной непрерывной функции:
Аппроксимируем 
последовательностью полиномов в интервале 
. В результате получим
Рассуждая так же, как и выше, для величины 
на выходе системы (рис. VII. 14) получим
где
и
Импульсная переходная функция системы определяется выражением
Выражение (VII. 177) показывает, что импульсная переходная функция 
линейной части системы определяет реакцию нелинейной системы при любом воздействии и, следовательно, может рассматриваться как ее универсальная динамическая характеристика. Однако вместо интеграла суперпозиции с одномерным ядром теперь получается выражение (VII.177), содержащее многократные интегралы с многомерными ядрами.
Функционалы вида
называются однородными регулярными функционалами 
степени.
Ядро 
функционала (VII. 179) может быть представлено в виде
обладает свойством разделимости.
Свойство однородности функционала 
заключается в том, что если в нем заменить 
через 
то 
сделается равным 
Точно так же, как и в линейном случае, ядро 
удовлетворяющее условию
называется физически реализуемым.
Ядро 
называется устойчивым при условии, что
Если функция 
аналитическая в некоторой области, то ее можно разложить в степенной ряд, т. е.
Преимуществом степенных рядов (VII. 183) по сравнению с последовательностью полиномов (VI 1.176) является то, что можно дать оценку ошибки разложения. Их недостаток заключается в том, что разложение (VII. 183) справедливо лишь для ограниченной области значений 
Изложенный выше подход к описанию нелинейных систем, требующий введения импульсной переходной функции 
ее линейной части, можно обобщить и на более сложные системы, состоящие из последовательного соединения линейных динамических элементов и нелинейных статических элементов (не имеющих «памяти»).
